Meccanica Quantistica

Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|Pi|ψ〉 = −ih/ ∂
ψ(x1, · · · , xn) (5.145)
∂xi
Inoltre le variabili classiche dipendenti ω(xi, pj) vengono rappresentate dagli operatori
(modulo le ambiguità che abbiamo discusso in precedenza)
Notiamo in particolare che
Ω = ω(xi → Xi, pi → Pi) (5.146)
dP(x1, · · · , xn) = |ψ(x1, · · · , xn)| 2 dx1, · · · , dxn
(5.147)
è la di probabilità affinché le coordinate siano comprese tra x1, · · · , xn e x1 +
dx1, · · · , xn + dxn.
È importante sottolineare che il postulato è formulato strettamente in termini
delle variabili cartesiane che definiscono il sistema, dato che solo in tal caso è possibile
effettuare le semplici sostituzioni operatoriali sulla funzione d’onda
Xi → xi, Pi → −ih/ ∂
∂xi
(5.148)
Una volta effettuata questa sostituzione è poi possibile passare ad un generico sistema
di coordinate tramite la corrispondente sostituzione di variabili.
Esempio: Consideriamo l’osservabile classica
ω = 1
2m p 2 + 1
2 kx2
Il problema agli autovalori per il corrispondente operatore quantistico
è
e nello spazio delle configurazioni
Ω = 1
2m P 2 + 1
2 k X 2
(5.149)
(5.150)
Ω|ω〉 = ω|ω〉 (5.151)
Ωψω(x) = ωψω(x) (5.152)
o più esplicitamente
2
h/
−
2m ∇ 2 + 1
2 kx2
ψω(x) = ωψω(x) (5.153)
Supponiamo di voler usare coordinate sferiche invece che cartesiane. Il nostro postulato
richiede che si effettui il cambiamento di variabili sulla precedente equazione
agli autovalori e quindi
∇ 2 = 1
r 2
∂
∂r
2 ∂
r
∂r
+ 1
sin θ
∂
sin θ
∂θ
∂
+
∂θ
1
sin2 θ
142
∂2 ∂φ2
(5.154)