Meccanica Quantistica

segue
〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k〉dx ′
= −i
Dobbiamo dunque risolvere
La soluzione generale è
δ ′ (x − x ′ )ψk(x ′ )dx ′ = −i dψk(x)
dx
(4.452)
−i dψk(x)
dx = kψk(x) (4.453)
ψk(x) = Ae ikx
(4.454)
dove A è una costante di normalizzazione. Ogni valore di k produce un autovalore,
d’altra parte K deve essere hermitiano anche sui suoi autovettori. Ma per k
complesso, k = k1 + ik2, le soluzioni divergono in uno dei due limiti e quindi dobbiamo
restringerci a k reale. Una normalizzazione conveniente è quella che produce
autovettori ortonormali (nel senso del continuo)
Si ha
〈k|k ′ 〉 = δ(k − k ′ ) (4.455)
〈k|k ′
〉 = 〈k|x〉〈x|k ′
〉dx = ψ ∗ k (x)ψk ′(x)dx =
= |A| 2
e −i(k − k′ )x 2 ′
dx = (2π)|A| δ(k − k ) (4.456)
Dunque sceglieremo A reale e
Pertanto
A = 1
√ 2π
〈x|k〉 = ψk(x) = 1
√ 2π e ikx
(4.457)
(4.458)
Si verifica facilmente che gli autovettori di K costituiscono un set ortonormale (nel
senso del continuo). Infatti
dk〈x|k〉〈k|x ′ 〉 = 1
dke
2π
ik(x − x′ ) ′
= δ(x − x ) (4.459)
da cui
|k〉〈k|dk = I (4.460)
Assumeremo che anche nel continuo gli autovettori di un operatore hermitiano
costituiscano un set ortonormale. Nel caso in esame funzioni che si
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