Meccanica Quantistica

O esplicitamente
x1(t) = 〈1|x(t)〉 = 1
2 (x1(0)
k
+ x2(0))cos
m t
+ 1
2 (x1(0)
− x2(0))cos 3 k
m t
(4.329)
x2(t) = 〈2|x(t)〉 = 1
2 (x1(0)
k
+ x2(0))cos
m t
− 1
2 (x1(0)
− x2(0)) cos 3 k
m t
In definitiva la soluzione può essere scritta come
(4.330)
|x(t)〉 = U(t)|x(0)〉 (4.331)
con
⎛
1
⎜
⎜2
U(t) = ⎜
⎝
(cosωIt + cosωIIt) 1
2 (cosωIt − cosωIIt)
1
2 (cosωIt − cosωIIt) 1
2 (cosωIt
⎞
⎟ (4.332)
⎠
+ cosωIIt)
L’operatore U(t) è un operatore che non dipende dallo stato iniziale e nel linguaggio
della meccanica quantistica è chiamato propagatore perché propaga il sistema dallo
stato iniziale caratterizzato dal ket |x(0)〉 allo stato al tempo t. L’operatore U(t)
non è altro che l’operatore che appare nella parentesi dell’equazione (4.325)
U(t) = |I〉〈I| cosωIt + |II〉〈II| cosωIIt =
|i〉〈i| cosωit (4.333)
i=I,II
Vediamo dunque che in generale il problema posto da
|¨x(t)〉 = Ω|x(t)〉 (4.334)
si riporta a risolvere il problema aglia autovalori per Ω ed alla costruzione dell’operatore
U(t).
Notiamo che ci sono dei vettori che hanno una evoluzione temporale particolarmente
semplice. Questi sono gli autostati di Ω. Per esempio,
|I(t)〉 = U(t)|I〉 =
|i〉〈i| cosωit|I〉 = |I〉 cosωIt (4.335)
Analogamente
i=I,II
|II(t)〉 = U(t)|II〉 = |II〉 cosωIIt (4.336)
Quindi nell’evoluzione temporale gli autovettori di Ω rimangono paralleli a se stessi,
cambiano cioè solo di un fattore moltiplicativo. I modi di vibrazione che rimangono
paralleli a se stessi sono detti modi normali. La fisica di questi modi è molto
chiara. Il caso
|I〉 = 1
√ 2
95
1
1
(4.337)