Meccanica Quantistica

indipendenti.
È opportuno osservare che gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale permettono
di sviluppare rapidamente il calcolo vettoriale. Consideriamo due vettori
in V 3 (R) espressi una data base (v1,v2,v3):
v = α1v1 + α2v2 + α3v3
v ′ = β1v1 + β2v2 + β3v3 (4.17)
Ovviamente i due vettori si possono sommare con la regola del parallelogrammo,
ma usando gli assiomi si vede subito che si può fare la somma per componenti
v + v ′ = (α1v1 + α2v2 + α3v3) + (β1v1 + β2v2 + β3v3) =
= (α1 + β1)v1 + (α2 + β2)v2 + (α3 + β3)v3
(4.18)
Quindi le componenti del vettore somma sono la somma delle componenti dei due
vettori. Analogamente
αv = α(α1v1 + α2v2 + α3v3) = (αα1)v1 + (αα2)v2 + (αα3)v3
(4.19)
Quindi le componenti di αv sono il prodotto delle componenti di v per α. Le due
regole precedenti si estendono immediatamente a V n (F). Il punto importante è che
assegnata una base un generico vettore in V n (F) si rappresenta in maniera univoca
in termini delle n-uple delle sue componenti
v =
n
αivi ⇒ v = (α1, α2, · · · , αn) (4.20)
i=1
4.2 Spazi vettoriali con prodotto interno
Un prodotto interno in uno spazio vettoriale associa a due vettori di V uno scalare
di F. Cioè è un mapping bilineare V × V → F che soddisfa ai seguenti assiomi:
i) 〈v|v〉 ≥ 0 (= 0 se e solo se v = 0)
ii) 〈vi|vj〉 = 〈vj|vi〉 ∗
iii) 〈vi|αvj + βvk〉 = α〈vi|vj〉 + β〈vi|vk〉 (4.21)
L’operazione ∗ qui introdotta è la coniugazione complessa se F = C il campo dei
complessi. È invece l’operazione identità nel caso dei reali. Noi lavoreremo quasi
sempre nel campo complesso. La proprietà ii) dice che il prodotto interno (o prodotto
scalare) è simmetrico sui reali, mentre si dice hermitiano per il caso complesso.
La proprietà iii) esprime la linearità del prodotto interno rispetto al secondo vettore,
mentre rispetto al primo è antilineare. Infatti
〈αvi|vj〉 = 〈vj|αvi〉 ∗ = (α〈vj|vi〉) ∗ = α ∗ 〈vi|vj〉 (4.22)
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