Meccanica Quantistica

L’equazione di Schrödinger stazionaria in coordinate cartesiane sarà3
2 2 h/ ∂ ∂2
− +
2µ ∂x2 ∂y2
+ V ( x2 + y2
) ψE(x, y) = Eψ(x, y) (11.126)
Conviene evidentemente passare a coordinate polari. Usando le equazioni (11.85) si
ricavano le relazioni
e con un po’ di calcoli
∂ 2
∂x
Per cui si ha
2 2 h/ ∂ 1 ∂
− +
2µ ∂ρ2 ρ ∂ρ
∂
∂x
∂
∂y
∂ 1 ∂
= cosθ − sin θ
∂ρ ρ ∂θ
∂ 1 ∂
= sin θ + cos θ
∂ρ ρ ∂θ
∂y
∂2 ∂2
+ = 2 2
1 ∂
+
∂ρ2 ρ ∂ρ
1
+
ρ2 ∂2 ∂θ2 (11.127)
(11.128)
1
+
ρ2 ∂2 ∂θ2
+ V (ρ) ψE(ρ, θ) = EψE(ρ, θ) (11.129)
Il problema è di tipo separabile in parte angolare e parte radiale. Ponendo
e usando la (11.113)
2 2 h/ ∂ 1 ∂
− +
2µ ∂ρ2 ρ ∂ρ
ψE,m(ρ, θ) = RE,m(ρ)Φm(θ) (11.130)
1
−
ρ2m2
+ V (ρ) RE,m(ρ) = ERE,m(ρ) (11.131)
Evidentemente, cambiando il potenziale, solo la parte radiale della funzione d’onda
viene modificata, mentre la parte angolare rimane la stessa. Possiamo anche
mostrare come il problema si riduca al caso di una particella unidimensionale con
potenziale modificato. Notiamo innanzitutto che la condizione di normalizzazione
per la R(ρ) coinvolge l’integrale
ρdρ|R(ρ)| 2
(11.132)
Conviene dunque definire
RE,m(ρ) = 1
√ ρ χE,m(ρ) (11.133)
3 Qui useremo µ per indicare la massa per non confonderla con l’autovalore di Lz
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