Meccanica Quantistica

anche questa volta senza fattori di fase per avere le corrette rotazioni sugli impulsi.
Per costruire esplicitamente U(R) consideriamo una rotazione di un angolo
infinitesimo φ = ǫ. Porremo
e inoltre si avrà
Pertanto
U(R(ǫ))|ψ〉 =
da cui
o
=
U(R(ǫ)) = I − i ǫ
h/ Lz
(11.76)
U(R(ǫ))|x, y〉 = |x − ǫy, ǫx + y〉 (11.77)
dxdyU(R(ǫ))|x, y〉〈x, y|ψ〉 =
dxdy|x − ǫy, ǫx + y〉〈x, y|ψ〉 =
dxdy|x, y〉〈x + ǫy, y − ǫx|ψ〉 (11.78)
〈x, y|U(R(ǫ))|ψ〉 = ψ(x + ǫy, y − ǫx) (11.79)
ψR(ǫ)(x, y) = ψ(x + ǫy, y − ǫx) (11.80)
Segue dunque
〈x, y| I − i ǫ
h/ Lz
|ψ〉 = ψ(x, y) −i ǫ
h/ 〈x, y|Lz|ψ〉
= ψ(x, y)+ǫ y ∂
∂
− x ψ(x, y)
∂x ∂y
(11.81)
da cui
〈x, y|Lz|ψ〉 = −ih/ x ∂
∂
− y ψ(x, y) (11.82)
∂y ∂x
Possiamo dunque identificare Lz con l’operatore
Lz = XPy − Y Px
(11.83)
Ci saremmo potuti attendere questo risultato usando l’usuale corrispondenza tra
meccanica classica e meccanica quantistica. Tra l’altro nel caso in esame non
si hanno nemmeno ambiguità di ordinamento perché gli operatori che appaiono
moltiplicati tra loro nella precedente formula commutano tra loro.
L’azione di Lz risulta più facilmente comprensibile se si usano coordinate polari.
Posto
x = ρ cosθ, y = ρ sin θ (11.84)
con formule inverse
ρ = x 2 + y 2 , θ = arctan y
x
231
(11.85)