Meccanica Quantistica

Nel caso di una particella di carica q che interagisca con un campo elettromagnetico
si ha
Hclas = 1
p −
2m
q
c
A(x, t) 2
+ qφ(x, t) (5.161)
In questo caso la sostituzione può creare ambiguità dato che, in generale
[ P, A( X, t)] = 0 (5.162)
Adottando la prescrizione di simmetrizzazione di Weyl scriveremo
H = 1
P
2m
2 − q
c A( X, t) · P − q
c P · A( X, t) + q2
c2 A 2 (
X, t) + qφ( X, t) (5.163)
5.7.2 Studio generale della soluzione
Iniziamo considerando il caso in cui l’operatore H non abbia una esplicita dipendenza
dal tempo. L’equazione di Schrödinger
ih/| ˙ ψ〉 = H|ψ〉 (5.164)
è lineare e del primo ordine nella derivata temporale e quindi è ragionevole assumere
che la soluzione si possa esprimere linearmente in termine del vettore di stato
considerato all’istante iniziale. In altri termini assumeremo che la soluzione si possa
ottenere applicando un operatore lineare (propagatore) al vettore iniziale
|ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉 (5.165)
Per calcolare U(t) necessiteremo degli autovalori e degli autovettori dell’operatore
hamiltoniano H. L’equazione agli autovalori per H è
H|E〉 = E|E〉 (5.166)
Questa equazione viene anche chiamata l’equazione di Schrödinger indipendente
dal tempo. Supponiamo di averla risolta, allora potremo scrivere
|ψ(t)〉 =
|E〉〈E|ψ(t)〉 =
aE(t)|E〉 (5.167)
con
Inserendo la (5.167) nell’equazione di Schrödinger si trova
E
E
aE(t) = 〈E|ψ(t)〉 (5.168)
ih/ ∂aE(t)
∂t = ih/〈E| ˙ ψ(t)〉 = 〈E|H|ψ(t)〉 = EaE(t) (5.169)
che possiamo integrare immediatamente ottenendo
−i
aE(t) = aE(0)e
Et
h/ , aE(0) = 〈E|ψ(0)〉 (5.170)
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