Meccanica Quantistica

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11.6.2 Autofunzioni del momento angolare nella base delle coordinate Per studiare il problema delle autofunzioni del momento angolare è conveniente passare a coordinate polari, così come abbiamo fatto nel caso bidimensionale. Usando le coordinate come illustrato in Figura 11.5 si ha e le relazioni inverse y x = r sin θ cosφ y = r sin θ sin φ z = r cosθ (11.213) z θ φ r Figura 11.5: Il sistema di coordinate polari usato nel testo. P r = x2 + y2 + z2 x2 + y2 θ = arctan z φ = arctan y x 245 x (11.214)
Da queste ultime si ricavano le espressioni per le derivate rispetto alle coordinate cartesiane espresse in coordinate polari ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ 1 ∂ = sin θ cosφ + cosθ cosφ ∂r r ∂θ ∂ 1 ∂ = sin θ sin φ + cosθ sin φ ∂r r ∂θ ∂ 1 ∂ = cosθ − sin θ ∂r r ∂θ 1 sin φ ∂ − r sin θ ∂φ 1 cosφ ∂ + r sin θ ∂φ Usando le (11.149) nello spazio delle coordinate (Pi → −ih/∂/∂xi) si trova Jx = i sin φ ∂ Jy cosφ ∂ + ∂θ tanθ ∂φ = −i cosφ ∂ sin φ ∂ − ∂θ tanθ ∂φ Jz = −i ∂ ∂φ (11.215) (11.216) Con un ulteriore sforzo si può calcolare il quadrato del momento angolare: J 2 1 ∂ = − sin θ sin θ ∂θ ∂ + ∂θ 1 sin 2 ∂ θ 2 ∂φ2 (11.217) Osserviamo che gli operatori di momento angolare non dipendono dalla variabile radiale, ma solo dalle variabili angolari. Pertanto nel valutare le autofunzioni di Jz e di J 2 potremo ignorare la variabile radiale. Scriveremo dunque le autofunzioni nella base delle coordinate come (indicando con ℓ invece che con j l’autovalore del momento orbitale) 〈x|ℓ, m〉 ≈ 〈θ, φ|ℓ, m〉 = Yℓm(θ, φ) (11.218) Le funzioni Yℓm(θ, φ) sono chiamate armoniche sferiche. Consideriamo allora l’autofunzione di peso massimo Yℓℓ(θ, φ) che soddisferà Usando la (11.216) per Jz si ha immediatamente e inoltre, per definizione di peso massimo J 2 Yℓℓ(θ, φ) = ℓ(ℓ + 1)Yℓℓ(θ, φ) (11.219) JzYℓℓ(θ, φ) = ℓYℓℓ(θ, φ) (11.220) Yℓℓ(θ, φ) = Fℓ(θ)e iℓφ (11.221) J+Yℓℓ(θ, φ) = 0 (11.222) 246
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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Page 295 and 296: In realtà l’espressione corretta
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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