Meccanica Quantistica

Se si considera un moto periodico, l’integrale precedente e’ fatto su mezzo periodo.
Se lo facciamo su un periodo completo possiamo scrivere
p(x)dx = 2π(n + 1
2 )h/ (13.25)
Si potrebbe inoltre mostrare che questa regola vale per qualunque coppia di variabili
canonicamente coniugate x e p. Se consideriamo il moto radiale di un atomo di
idrogeno e x la variabile radiale e p l’impulso radiale. L’integrale a primo membro
da
2πM = 2π(n + 1
2 )h/ → M = (n + 1
2 )h/ → nh/ (13.26)
Dove l’ultimo passaggio e’ fatto nel limite di grandi n, cioe’ nel limite classico.
Questa e’ proprio la regola di quantizzazione di Bohr. Si puo’ mostrare che questa
regola é esatta per l’oscillatore armonico, prendento come variabile x il tempo e
quindi come impulso coniugato l’energia. Segue
dove T = 1/ν e’ il periodo. E dunque
13.2 Il decadimento α
ET = 2π(n + 1
2 )h/ → E = 2π 1
(n +
ν 2 )h/ (13.27)
E = h/ω(n + 1
) (13.28)
2
Consideriamo il problema della trasmissione attraverso una barriera di potenziale.
Questo e’ un problema che si presenta, ad esempio, nel decadimento di una
particella α in un nucleo. Schematizzeremo il problema assumendo il nucleo descritto
da un potenziale centrale e considereremo il caso di momento angolare nullo.
Il potenziale nucleare viene allora descritto come in Figura 13.3. La particella α
e’ confinata nella regione I e vogliamo la probabilita’ perche’ la particella venga
emessa dal nucleo. Assumeremo inoltre che l’energia E posseduta dalla particella
α non sia troppo vicina al massimo del potenziale. Infatti in questo caso i punti a
e b sarebbero troppo vicini e l’analisi delle condizioni di raccordo diventa assai piu’
complicata. Assumeremo allora che la particella emessa (dunque nella regione III)
venga descritta da un’onda piana che si muove verso destra
ψIII(x) =
i
T
eh/
|p(x)|
270
x
b
|p(x ′ )|dx ′ + i π
4 (13.29)