Meccanica Quantistica

Nello spazio infinito-dimensionale che abbiamo costruito, indicando con D l’operatore
corrispondente avremo
D|f〉 = |df/dx〉 (4.434)
Cioè D mappa una funzione nella sua derivata. Calcoliamo l’espressione
〈x|D|f〉 = 〈x|df/dx〉 = df(x)
dx
(4.435)
da cui, inserendo la completezza, si ottengono gli elementi di matrice di D tra i
vettori di base
〈x|D|x ′ 〉〈x ′ |f〉dx ′
=
(4.436)
〈x|D|x ′ 〉f(x ′ )dx ′ = df(x)
dx
Vediamo cosi che
〈x|D|x ′ 〉 = d
dx δ(x − x′ ) (4.437)
Siamo ora in grado di valutare le proprietà di hermiticità di D. Si ha dunque
Dx,x ′ = δ ′ (x − x ′ ) (4.438)
da cui (l’apice indica sempre la derivata rispetto al primo argomento)
D ∗ x ′ ,x = δ ′ (x ′ − x) ∗ = δ ′ (x ′ − x) = −δ ′ (x − x ′ ) (4.439)
Vediamo che l’operatore D è antihermitiano
Possiamo dunque definire un operatore hermitiano
D † = −D (4.440)
K = −iD (4.441)
L’analisi fin qui fatta è formale. Dato che si ha a che fare con distribuzioni, tutte le
proprietà andrebbero controllate sotto segno di integrale. Consideriamo dunque un
generico elemento di matrice di K, 〈g|K|f〉. Affinché K sia hermitiano dobbiamo
avere
〈g|K|f〉 = 〈g|Kf〉 = 〈Kf|g〉 ∗ = 〈f|K † |g〉 ∗ = 〈f|K|g〉 ∗
(4.442)
cioè
〈g|K|f〉 = 〈f|K|g〉 ∗
(4.443)
Questa relazione si può riscrivere usando la completezza:
〈g|K|f〉 = dxdx ′ 〈g|x〉〈x|K|x ′ 〉〈x ′
|f〉 = dxdx ′ g ∗ (x)Kx,x ′f(x′ ) =
=
dxdx ′ g ∗ (x)(−i) dδ(x − x′ )
f(x
dx
′ =
) =
dxg ∗ (x)(−i) df(x)
dx
(4.444)
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