Meccanica Quantistica

Dato che le due hamiltoniane commutano tra loro
[H1(X1, P1), H2(X2, P2)] = 0 (10.45)
segue che si possono trovare autostati simultanei del tipo prodotto diretto
con
Quindi selezionando uno stato |E〉 = |E1〉 ⊗ |E2〉 si ha
con
|E1, E2〉 = |E1〉 ⊗ |E2〉 (10.46)
H (1)
1 |E1〉 = E1|E1〉
H (2)
2 |E2〉 = E2|E2〉 (10.47)
H|E〉 = (H1 + H2)|E1〉 ⊗ |E2〉 = (E1 + E2)|E〉 = E|E〉 (10.48)
E = E1 + E2
Ovviamente |E1〉 ⊗ |E2〉 ci fornisce una base in V1 ⊗ V2 e si ha
(10.49)
−i
|ψ(t)〉 = |E1〉e
E1t
−i
h/ ⊗ |E2〉e
E2t
h/ (10.50)
Si possono paragonare i risultati ottenuti in questo modo con quelli ottenibili con
il metodo standard di separazione delle variabili. In questo caso, nello spazio delle
coordinate avremmo scritto l’equazione di Schrödinger stazionaria nella forma
con
h/ 2
−
2m1
∂ 2
∂x 2 1
h/ 2
+ V1(x1) −
2m2
∂ 2
∂x 2 2
+ V2(x2)
ψE(x1, x2) = Eψ(x1, x2) (10.51)
ψE(x1, x2) = 〈x1, x2|E〉 (10.52)
Questa equazione si risolve cercando soluzioni particolari della forma
Sostituendo si trova
+
h/ 2
−
2m1
h/ 2
−
2m2
∂ 2
∂x 2 1
∂ 2
∂x 2 2
ψE(x1, x2) = ψE1(x1)ψE2(x2) (10.53)
+ V1(x1)
+ V2(x2)
ψE1(x1)
ψE2(x2)
207
ψE2(x2) +
ψE1(x1) = EψE1(x1)ψE2(x2) (10.54)