Meccanica Quantistica

da cui
Pertanto
ψ ′′ E = (u′′ − 2yu ′ − u + y 2 u)e −y2
2 (8.51)
ψ ′′ E + (2ǫ − y 2 )ψE = (u ′′ − 2yu ′ − u + y 2 u + 2ǫu − y 2 u)e −y2
2 (8.52)
u ′′ − 2yu ′ + (2ǫ − 1)u = 0 (8.53)
L’idea base del metodo è che avendo estratto il comportamento asintotico della soluzione
e conoscendo l’andamento nell’intorno dell’origine sia possibile effettuare uno
sviluppo in serie della soluzione nell’intorno dell’origine stessa. Quindi scriveremo
u(y) =
∞
n=0
cny n
(8.54)
Questa espansione è consistente con l’andamento nell’origine che sappiamo essere
un termine costante più un termine lineare in y. Sostituendo questa espressione nell’equazione
per la u(y) possiamo trovare una relazione di ricorrenza per i coefficienti
cn. Si ha
u ′′ ∞
= n(n − 1)cny n−2 ∞
= (m + 2)(m + 1)cm+2y m
(8.55)
e sostituendo si trova
n=2
yu ′ =
m=0
∞
n=1
ncny n
(8.56)
∞
[(n + 1)(n + 2)cn+2 − 2ncn + (2ǫ − 1)cn] y n = 0 (8.57)
n=0
Dunque la relazione di ricorrenza cercata è
o
(n + 1)(n + 2)cn+2 + (2ǫ − 1 − 2n)cn = 0 (8.58)
cn+2 = cn
2n + 1 − 2ǫ
(n + 2)(n + 1)
(8.59)
Dato che non vogliamo che u(y) cresca più di una potenza di y per y → ±∞
dobbiamo controllare il comportamento asintotico della serie. Studiamo dunque il
rapporto cn+2/cn
cn+2
→ 2
, per n → ∞ (8.60)
n
cn
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