Meccanica Quantistica

(0,1,1)
y
z
(1,1,0)
(1,0,1)
Figura 4.1: I tre vettori dell ’esempio in un riferimento cartesiano.
Ma dato che i vi sono linearmente indipendenti si ha necessariamente αi = βi.
Ogni insieme di n vettori linearmente indipendenti in V n (F) è chiamato una
base in V n (F). I coefficienti dell’espansione di un generico vettore v in termini dei
vi sono chiamate le componenti di v in quella base. Si dice anche che V n (F) è
sotteso da una base. Nel caso di vettori in R 3 è evidente che due vettori non paralleli
sono linearmente indipendenti e che la stessa proprietà vale per tre vettori non
paralleli e non sullo stesso piano. Vedremo più avanti che questo spazio altro non è
che V 3 (R). Notiamo che il vettore nullo non può essere contenuto in un insieme di
vettori linearmente indipendenti. Infatti se consideriamo un insieme di tali vettori
con il vettore nullo incluso, (v1.v2, · · · ,vn,0), questi vettori non sono indipendenti
perché, per esempio, 0 = v − v.
Esempio: Dimostrare che i vettori {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} rappresentati in Fig.
4.1 sono linearmente indipendenti. Basta vedere se una combinazione lineare dei
tre vettori con coefficienti non tutti nulli può o meno dare il vettore nullo, (0, 0, 0).
Consideriamo
α(1, 1, 0) + β(1, 0, 1) + γ(0, 1, 1) = (0, 0, 0) (4.15)
Questo dà luogo a tre equazioni omogenee nei coefficienti α, β, γ
α + β = 0
α + γ = 0
β + γ = 0 (4.16)
Si verifica che il determinante del sistema è diverso da zero (vale -2) e quindi il
sistema ammette l’unica soluzione α = β = γ = 0, ed i tre vettori sono linearmente
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x