Meccanica Quantistica

D’altra parte
〈f|K|g〉 ∗
=
= i dx dg∗
(x)
f(x) = −i
dx
= 〈g|K|f〉 + i [g ∗ (x)f(x)] b
a
dxf ∗ (x)(−i) dg(x)
∗ dx
Dunque K è hermitiano se e solo se l’espressione
=
[g ∗ (x)f(x)] b
a
dxg ∗ (x) df(x)
dx + i [g∗ (x)f(x)] b
a =
(4.445)
(4.446)
è nulla. Pertanto l’hermiticità dell’operatore K dipende dalla classe di funzioni sulla
quale è definito. Per esempio se si ha a che fare con funzioni che si annullano sugli
estremi dell’intervallo di definizione, K è hermitiano. Analogamente si ha hermiticità
nel caso di funzioni periodiche, f(a) = f(b). Nel seguito saremo interessati a funzioni
definite in un intervallo infinito (−∞, +∞). Ovviamente se si ha a che fare con
funzioni che si annullano all’infinito avremo hermiticità. Spesso però avremo a che
fare con funzioni oscillanti, del tipo eikx . Quando prendiamo l’elemento di matrice
di K tra due funzioni di questo tipo dovremo considerare l’espressione
e ikx e −ik′ x +∞
(4.447)
Se k = k ′ questa espressione è nulla, altrimenti diventa rapidamente oscillante ma
non ha un limite definito. Possiamo però definire questo limite prendendo una media
su un grande intervallo. Definiremo cioè
−∞
x+∆
lim
x→∞ eikxe −ik′ x 1
≡ lim lim e
x→∞ ∆→∞, x≫∆ ∆ x
i(k − k′ )x
dx =
1
= lim
x≫∆→∞ i(k − k ′
e
)∆
i(k − k′ )(x + ∆)
− e
i(k − k ′ )x
=
= lim
x≫∆→∞ ei(k − k′
)x ei(k − k′ )∆ − 1
i(k − k ′
= 0 (4.448)
)∆
Dunque anche in questo spazio, se si adotta questa particolare prescrizione di limite
l’operatore K è hermitiano. Poniamoci adesso il problema agli autovalori:
Passando alla base |x〉 si ha
Definendo
K|k〉 = k|k〉 (4.449)
〈x|K|k〉 = k〈x|k〉 (4.450)
ψk(x) = 〈x|k〉 (4.451)
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