Meccanica Quantistica

non è eliminabile dato che il prodotto interno è invariante sotto una trasformazione
di fase dei vettori
〈e iφ v|e iφ w〉 = e −iφ 〈v|w〉 e +iφ = 〈v|w〉 (4.165)
In genere si fissa la fase in modo da rendere reali le componenti di un vettore, ma
non sempre questo è possibile. Consideriamo adesso il caso ω2 = +i. Si ha:
⎛
1 − i
⎝ 0
⎞⎛
⎞
0 0 v1
−i −1⎠
⎝v2⎠
= 0 (4.166)
0 1 −i
Da cui le equazioni
v3
(1 − i)v1 = 0, −iv2 − v3 = 0, v2 − iv3 = 0 (4.167)
Le due ultime equazioni coincidono, si ottiene quindi
Possiamo scrivere la soluzione
v1 = 0, v2 = iv3 (4.168)
⎛ ⎞
0
|ω = +i〉 = ⎝iv3⎠
(4.169)
dove abbiamo introdotto una notazione molto usata che consiste nell’identificare
l’autovettore con l’autovalore corrispondente. Se normalizziamo ad uno, a parte
una fase, si ottiene
|ω = +i〉 = 1 ⎛ ⎞
0
√ ⎝i⎠
=
2
1
1 √ (i|2〉 + |3〉) (4.170)
2
Analogamente
v3
|ω = −i〉 = 1
⎛ ⎞
0
√ ⎝−i⎠
=
2
1
1 √ (−i|2〉 + |3〉) (4.171)
2
Ovviamente allorché si abbiano più autovettori che corrispondono allo stesso autovalore
la notazione qui introdotta dovrà essere modificata. Questa situazione detta
di autovalori degeneri o degenere tout court verrà studiata più in dettaglio nel
seguito.
Una proprietà molto importante degli operatori hermitiani è che i loro autovalori
sono reali. Infatti si ha
A|ω〉 = ω|ω〉 ⇒ 〈ω|A|ω〉 = ω〈ω|ω〉 (4.172)
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