Meccanica Quantistica

mancano le condizioni di stato legato in entrambe le regioni asintotiche e pertanto
E ≥ V± : 2N + 1 condizioni con 2N + 2 coefficienti (6.80)
Corrispondentemente si hanno due soluzioni degeneri, nessuna quantizzazione dell’energia
e stato non legato. La degenerazione corrisponde al fatto che la particella
può andare all’infinito ad entrambi gli estremi.
Un altro punto che merita una riflessione è il fatto che l’energia dello stato
fondamentale (di energia più bassa), n = 1 per la particella nel box non è zero, ma
E = h/ 2 π2 2mL2 (6.81)
La ragione va ricercata nel principio di indeterminazione. Infatti, dato che la posizione
e quindi ∆X sono limitati, ne segue che la particella non può avere impulso
definito. In particolare, da
segue
H =
P 2
2m
(6.82)
〈H〉 = 1
2m 〈P 2 〉 (6.83)
D’altra parte si ha 〈P 〉 = 0, sia dal calcolo diretto, sia osservando che essendo la
particella confinata in una regione finita non può avere un impulso medio, altrimenti
finirebbe per andare all’infinito. Pertanto
Usando
e
〈H〉 = 1
2m 〈(P − 〈P 〉)2 〉 = 1 2
∆P
2m
∆X ≤ L
2
(6.84)
(6.85)
∆P∆X ≥ h/
2
(6.86)
si trova
〈H〉 ≥ 1 h/
2m
2 2 2
h/ 4 h/
≥ =
4∆X2 8m L2 2mL2 (6.87)
Vediamo che l’energia nello stato fondamentale è π2 volte il valore minimo sopra
calcolato.
6.2.2 Il potenziale a delta di Dirac
Consideriamo una particella in un potenziale dato da una funzione delta 2 :
V (x) = −aV0δ(x) (6.88)
2 Poichè dalla condizione δ(x)dx = 1 vediamo che la delta ha le dimensioni dell’inverso di una
lunghezza, nella definizione di questo potenziale occorre inserire una quantità a con le dimensioni
di una lunghezza.
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