Meccanica Quantistica

Capitolo 11
Simmetrie
Nel caso classico le simmetrie dell’hamiltoniana hanno due importanti conseguenze:
• Se la simmetria è generata da una variabile dinamica g(q, p), questa variabile
è una costante del moto
• Ogni trasformazione canonica che lascia l’hamiltoniana invariata mappa le
soluzioni dell’equazioni del moto in altre soluzioni. Detto in altri termini, due
esperimenti che differiscono per una tale trasformazione portano agli stessi
risultati fisici.
In questo capitolo vogliamo mostrare come queste conseguenze si trasformano nel
caso quantistico.
11.1 Invarianza per traslazioni
Dalla nostra discussione sui postulati dovrebbe essere chiaro che, nel caso quantistico,
il ruolo delle variabili classiche è giocato dai valori di aspettazione dei corrispondenti
operatori. Definiremo quindi la trasformazione corrispondente a una
traslazione come (esemplifichiamo sempre nel caso unidimensionale). :
〈X〉 → 〈X〉 + ǫ, 〈P 〉 → 〈P 〉 (11.1)
Ci sono due possibili modi per interpretare questa trasformazione:
Punto di vista attivo: Lo stato |ψ〉 viene modificato dalla trasformazione in
|ψǫ〉 tale che
〈ψǫ|X|ψǫ〉 = 〈ψ|X|ψ〉 + ǫ, 〈ψǫ|P |ψǫ〉 = 〈ψ|P |ψ〉 (11.2)
Potremo allora costruire un operatore di traslazione con la richiesta che
T(ǫ)|ψ〉 = |ψǫ〉 (11.3)
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