Meccanica Quantistica

A questo fine si introducono due operatori non hermitiani
mω 1 mω
a = X + i P = X +
2h/ 2mωh/ 2h/
i
mω P
a †
mω 1 mω
= X − i P = X −
2h/ 2mωh/ 2h/
i
mω P
che in virtù delle regole di commutazione tra X e P soddisfano
(8.97)
[a, a † ] = 1 (8.98)
Le relazioni inverse sono
X =
h/
2mω (a + a†
), P = −i
h/mω
2 (a − a† ) (8.99)
Usando queste relazioni si trova subito
H = h/ω
4
È conveniente introdurre l’operatore
(a + a † ) 2 − (a − a † ) 2 = h/ω
2 (aa† + a † a) (8.100)
N = a † a (8.101)
in termini del quale, usando le regole di commutazione per a e a † si trova
H = h/ω N + 1
2
L’operatore N soddisfa le regole di commutazione
Pertanto si ha
[N, a] = [a † a, a] = −a, [N, a † ] = [a † a, a † ] = +a †
(8.102)
(8.103)
Na = a(N − 1), Na † = a † (N + 1) (8.104)
Consideriamo adesso un autostato dell’operatore hermitiano N 3 , |ν〉
Mostriamo che ν ≥ 0. Infatti
N|ν〉 = ν|ν〉 (8.105)
〈ν|a † a|ν〉 = |a|ν〉| 2 = 〈ν|N|ν〉 = ν〈ν|ν〉 = ν||ν〉| 2
(8.106)
3 Notiamo che diagonalizzare N è equivalente a diagonalizzare l’hamiltoniana, vista la relazione
(8.102).
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