Meccanica Quantistica

da cui
|〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2 = j(j + 1) − m(m + 1) (11.201)
m ′
Ma poiché J+|j, m〉 ≈ |j, m + 1〉 nella somma contribuisce solo m ′ = m + 1 e quindi
e analogamente
|〈j, m + 1|J+|j, m〉| 2 = j(j + 1) − m(m + 1) (11.202)
|〈j, m|J−|j, m + 1〉| 2 = j(j + 1) − m(m + 1) (11.203)
In genere viene adottata una convenzione sulle fasi tale che gli elementi di matrice
di Jx siano reali. Di conseguenza gli elementi di matrice di J± si prendono reali e
Segue
〈j, m + 1|J+|j, m〉 = j(j + 1) − m(m + 1)
〈j, m − 1|J−|j, m〉 = j(j + 1) − m(m − 1) (11.204)
J±|j, m〉 = j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m ± 1〉 (11.205)
Così come abbiamo fatto per l’oscillatore armonico si possono costruire tutti gli stati
a partire, per esempio, dallo stato di peso più elevato, cioè lo stato con m = j. Si
ha
J−|j, j〉 = 2j|j, j − 1〉 (11.206)
da cui
J 2 −|j, j〉 = 2jJ−|j, j − 1〉 = 2j 2(2j − 1)|j, j − 2〉 (11.207)
J 3 − |j, j〉 = 2j 2(2j − 1)J−|j, j − 2〉 = 2j · 2(2j − 1) · 3(2j − 2)|j, j − 3〉
(11.208)
Questo suggerisce
J k −|j, j〉 = k!2j(2j − 1) · · ·(2j − (k − 1))|j, j−k〉 =
che si verifica immediatamente per induzione notando che
k!(2j)!
|j, j−k〉 (11.209)
(2j − k)!
J−|j, j − k〉 = (k + 1)(2j − k)|j, j − k − 1〉 (11.210)
Dunque, posto k = j − m si ricava la relazione
|j, m〉 =
(j + m)!
(2j)!(j − m)! Jj−m − |j, j〉 (11.211)
In modo del tutto analogo si potrebbe partire dal peso più basso m = −j ottenendo
|j, −m〉 =
(j + m)!
(2j)!(j − m)! Jj−m + |j, −j〉 (11.212)
Queste formule hanno la stessa utilità delle analoghe relazioni trovate per l’oscillatore
armonico. Infatti a partire da queste è facile, nel caso del momento orbitale, trovare
le autofunzioni nello spazio delle configurazioni.
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