Meccanica Quantistica

si ottiene
Yℓ,m(θ ′ , φ ′ ) =
Yℓ,m ′(θ, φ)Dℓ (R −1 )m ′ m
m ′
(15.140)
La matrice D ℓ (R) non è altro che il rappresentativo della rotazione U(R) nel sottospazio
di momento angolare ℓ, o come si dice la rappresentazione di spin ℓ. In
considerazione della relazione esistente tra le armoniche sferiche e i tensori cartesiani,
sembra naturale definire degli operatori, tensori sferici, tali che
U † (R)T (j)
m U(R) =
+j
m ′ =−j
o, mandando R → R −1 e usando U(R −1 ) = U † (R)
U(R)T (j)
m U † (R) =
+j
m ′ =−j
Prendendo una trasformazione infinitesima si ha
da cui
(1 − iα · J)T (j)
m (1 + iα · J) =
[α · J, T (j)
m ] =
+j
m ′ =−j
+j
m ′ =−j
Prendendo α in direzione z o lungo x ± iy segue
T (j)
m ′ D j
m ′ m (R−1 ) (15.141)
T (j)
m ′ D j
m ′ m (R) (15.142)
T (j)
m ′ 〈j, m ′ |(1 − iα · J)|j, m〉 (15.143)
T (j)
m ′ 〈j, m ′ |α · J)|j, m〉 (15.144)
[Jz, T (j) (j)
m ] = mT m , [J±, T (j)
m ] = j(j + 1) − m(m ± 1)T (j)
m±1
(15.145)
Un operatore sferico T (j)
m è anche detto un operatore di spin j. Il
motivo è che applicato a uno stato ne altera il momento angolare in modo definito.
Precisamente consideriamo
Jz(T (j)
m |j ′ , m ′ 〉) = T (j)
m (Jz + m)|j ′ , m ′ 〉 = (m + m ′ )T (j)
m |j ′ , m ′ 〉 (15.146)
dove α caratterizza gli altri numeri quantici dello stato. Quindi lo stato T (j)
m |j ′ , m ′ 〉
è un autostato di Jz con autovalore m + m ′ . Come conseguenza si ha la regola di
selezione
〈α ′ , j ′ , m ′ |T (k)
q |α, j, m〉 = 0 a meno che m ′ = m + q (15.147)
299