Meccanica Quantistica

o a un calcolo diretto
〈j|Pi|k〉 = 〈j|i〉〈i|k〉 = δijδik
(4.113)
che appunto ci dice che l’unico elemento diverso da zero è quello sulla riga i e sulla
colonna i.
Vediamo adesso come si rappresenta il prodotto di due operatori in termini di
matrici. Consideriamo l’elemento di matrice del prodotto AB
n
n
(AB)ij = 〈i|AB|j〉 = 〈i|AIB|j〉 = 〈i|A|k〉〈k|A|j〉 =
(4.114)
k=1
k=1
AikBkj
Per arrivare al risultato abbiamo usato un trucco molto comune che consiste nell’inserire
l’operatore identità nella formula (4.106). Vediamo che l’elemento di matrice
del prodotto si ottiene facendo il prodotto righe per colonne delle due matrici che
rappresentano gli operatori A e B.
Definiamo adesso l’ aggiunto di un operatore. Partendo da:
scriviamo il bra corrispondente come
A|v〉 = |v ′ 〉 = |Av〉 (4.115)
〈Av| = 〈v|A †
Questa relazione definisce l’aggiunto di A. I suoi elementi di matrice sono:
cioè
(A † )ij = 〈i|A † |j〉 = 〈Ai|j〉 = 〈j|Ai〉 ∗ = 〈j|A|i〉 ∗ = A ∗ ji
(A † )ij = A ∗ ji
(4.116)
(4.117)
(4.118)
Una proprietà importante riguarda l’aggiunto del prodotto di operatori. Consideriamo
〈(AB)v| = 〈v|(AB) † = 〈A(Bv)| = 〈Bv|A † = 〈v|B † A †
(4.119)
Pertanto
(AB) † = B † A †
L’aggiunto del prodotto è uguale al prodotto degli aggiunti in ordine inverso.
Classi importanti di operatori sono gli operatori hermitiani
e gli operatori anti-hermitiani
(4.120)
A † = A (4.121)
A † = −A (4.122)
Ogni operatore può essere sempre decomposto in una parte hermitiana ed in una
parte anti-hermitiana
A = 1
2 (A + A† ) +
hermitiano
1
2 (A − A† )
(4.123)
anti−hermitiano
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