Meccanica Quantistica

Una particella nell’intorno di x0 effettuerà delle oscillazioni attorno a questo
punto che è un punto di equilibrio stabile. Espandendo V (x) attorno al minimo si
ha
V (x) = V (x0) + 1
2 (x − x0) 2 V ′′ (x0) + · · · (8.2)
dato che la derivata prima è nulla in x0:
V ′ (x0) = 0 (8.3)
Si può inoltre scegliere il sistema di riferimento in modo che V (x0) = 0 e prendere
x0 = 0 1 . In questo riferimento
V (x) = 1
2 x2 V ′′ (0) + · · · (8.4)
Per piccole oscillazioni, cioè per x 3 V ′′′ (0) ≪ x 2 V ′′ (0) si arriva ancora all’hamiltoniana
H = 1
2m p2 + 1
2 mω2x 2 , mω 2 = V ′′ (0) (8.5)
Un altro esempio è quello considerato in Sezione 4.11 di due oscillatori accoppiati
descritti dall’hamiltoniana classica
H = 1
2m p2 1
1 +
2m p2 1
2 +
2 mω2 [x 2 1 + x22 + (x1 − x2) 2 ] (8.6)
Sebbene gli oscillatori siano accoppiati abbiamo visto che è possibile una scelta di
variabili che disaccoppia le oscillazioni. Precisamente
in termini delle quali
xI = 1
√ 2 (x1 + x2), xII = 1
√ 2 (x1 − x2)
pI = 1
√ 2 (p1 + p2), xII = 1 √ 2 (p1 − p2) (8.7)
H = 1
2m [p2I + p 2 II] + 1
2 mω2 [x 2 I + 3x 2 II]
In queste variabili i due oscillatori sono disaccoppiati e hanno frequenze
(8.8)
k
ωI = ω =
m , ωII = √
3ω = 3 k
m
(8.9)
In generale, supponiamo di avere N gradi di libertà (x1, x2, · · · , xN) soggetti a un
potenziale di interazione V (x1, x2, · · · , xN). Con ragionamenti analoghi ai precedenti,
intorno a un punto di minimo, e scegliendo l’origine delle coordinate in tale
punto, potremo scrivere
H = 1
2
N
i,j=1
δij
pi pj +
mi
1
2
N
i,j=1
xiVijxj
(8.10)
1 Sarà sufficiente traslare il riferimento in modo da portare il minimo nell’origine delle coordinate.
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