Meccanica Quantistica

con T(ǫ) tale che
〈ψ|T † (ǫ)XT(ǫ)|ψ〉 = 〈ψ|X|ψ〉 + ǫ
〈ψ|T † (ǫ)PT(ǫ)|ψ〉 = 〈ψ|P |ψ〉) (11.4)
Questo modo di effettuare la trasformazione è detto attivo perché modificando il
vettore di stato è come se si traslasse la particella (vedi meglio successivamente).
Punto di vista passivo: Lo stato |ψ〉 non viene modificato, ma vengono modificati
invece gli operatori X e P
X → T † (ǫ)XT(ǫ) = X + ǫI
P → T † (ǫ)PT(ǫ) = P (11.5)
Questo punto di vista è detto passivo poiché è equivalente a traslare il sistema di
coordinate (gli autovalori dell’operatore trasformato sono le nuove coordinate).
Da entrambi i punti di vista dovrebbe essere chiaro che l’operatore T(ǫ) deve essere
unitario. Dal punto di vista attivo perché il vettore di stato trasformato deve essere
normalizzato come quello originario e quindi
〈ψǫ|ψǫ〉 = 〈ψ|ψ〉 ⇒ T † (ǫ)T(ǫ) = I (11.6)
Dal punto di vista passivo segue perché le regole di commutazione canoniche tra gli
operatori X e P non devono cambiare per effetto della traslazione e questo richiede
che la trasformazione sia unitaria. Consideriamo infatti due generici operatori A e
B e i loro trasformati secondo una trasformazione U:
A → A ′ = U † AU, B ′ = U † BU (11.7)
Se vogliamo che il commutatore tra A e B resti inalterato si deve avere
[A ′ , B ′ ] = U † AUU † BU − U † BUU † AU = [A, B] ′ = U † [A, B]U ⇒ UU † = I (11.8)
Ovviamente le due formulazioni sono equivalenti. Per convincersene è sufficiente
prendere il valore di aspettazione di (11.5) sullo stato |ψ〉 per ottenere la (11.4). Ciò
nondimeno è interessante studiare entrambi i casi dato che dal punto di vista attivo
le stato |ψ〉 gioca il ruolo dello stato classico (x, p), mentre dal punto di vista passivo
la risposta degli operatori X e P alla trasformazione unitaria è del tutto analogo al
risultato della trasformazione canonica classica. Iniziamo allora la discussione dal
punta di vista attivo. Se usiamo un autostato della posizione |x〉 è chiaro che, a
meno di una fase, l’operatore di traslazione dovrà produrre |x + ǫ〉:
T(ǫ)|x〉 = e iǫg(x) |x + ǫ〉 (11.9)
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