Meccanica Quantistica

Questa decomposizione è analoga alla decomposizione dei numeri complessi in parte
reale ed immaginaria.
Altri operatori importanti sono gli operatori unitari, tali che
o, in altri termini,
UU † = U † U = I (4.124)
U † = U −1
(4.125)
Questi operatori generalizzano i numeri complessi di modulo uno, e iθ . Osserviamo
che il prodotto di operatori unitari è unitario. Infatti
(U1U2) † = U †
2U †
1 = U −1
2 U −1
1 = (U1U2) −1
(4.126)
Inoltre gli operatori unitari possiedono l’importante proprietà di conservare il prodotto
interno. Cioè posto
si ha
|v ′ 1〉 = U|v1〉, |v ′ 2〉 = U|v2〉 (4.127)
〈v ′ 2|v ′ 1〉 = 〈v2|U † U|v1〉 = 〈v2|v1〉 (4.128)
Gli operatori unitari, lasciando inalterata la norma di un vettore, generalizzano
le rotazioni al caso complesso. Questo si può vedere anche nel seguente modo.
Conideriamo la rappresentazione matriciale per U, allora:
U † = (U T ) ∗
(4.129)
per cui se U è una matrice reale (come deve essere se i vettori sono definiti sul campo
dei reali) segue
U † = U −1 ⇒ U T = U −1 ⇒ U T U = I (4.130)
L’ultima relazione definisce una matrice ortogonale che corrisponde ad una rotazione.
È importante osservare che se pensiamo alle colonne di una matrice unitaria
n ×n come alle componenti di n vettori, questi formano un set ortonormale. Infatti,
partendo da U † U = I si ha
δij = 〈i|I|j〉 = 〈i|U † U|j〉 =
n
〈i|U † |k〉〈k|U|j〉 =
k=1
Definiamo dei vettori v (i) con componenti
segue:
n
k=1
La stessa considerazione si può fare per le n righe.
n
k=1
(U † )ikUkj =
n
k=1
U ∗ ki Ukj
(4.131)
v (i)
k = Uki (4.132)
v (i)∗
k v(j)
k = δij ⇔ 〈v (i) |v (j) 〉 = δij (4.133)
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