Meccanica Quantistica

Notiamo che si ha
X · P = −ih/
x ∂
∂ ∂
+ y + z = −ih/r
∂x ∂y ∂z
∂
∂r
dove si è fatto uso delle equazioni (11.213) e (11.215). Segue dalla (11.251)
Si ottiene allora
(11.260)
rPr = −ih/r ∂
∂r − ih/ = X · P − ih/ (11.261)
| L| 2 = | X| 2 | P | ,2 − ( X · P)(( X · P) − ih/) = | X| 2 | P | ,2 − (rPr + ih/)rPr =
= | X| 2 | P | ,2 − r(rPr − ih/)Pr − ih/rPr = | X| 2 | P | ,2 − | X| 2 P 2 r
Dunque possiamo scrivere il quadrato dell’operatore d’impulso nella forma
| P | 2 = P 2 r
+ 1
| X| 2 | L| 2
(11.262)
(11.263)
da cui
H = 1
2µ P 2 r +
1
2µ| X| 2 | L| 2 + V (r) (11.264)
con
P 2 21 ∂
r = −h/
r ∂r r1
2
∂ ∂
r = −h/
r ∂r r
2
∂r2r (11.265)
Con questa forma dell’hamiltoniana si effettua facilmente la separazione delle variabili
angolari da quelle radiali. Ponendo
ψEℓm(r, θ, φ) = Yℓm(θ, φ)χEℓ(r) (11.266)
si trova
2
h/ 1 d
−
2µ r
2 (rχE,ℓ(r))
dr2
h/
+
2 ℓ(ℓ + 1)
2µr2
+ V (r) χEℓ(r) = EχEℓ(r) (11.267)
e introducendo
segue
yEℓ(r) = rχEℓ(r) (11.268)
2
h/ d
−
2µ
2yE,ℓ(r) dr2 +
h/ 2 ℓ(ℓ + 1)
2µr2
+ V (r) yEℓ(r) = EyEℓ(r) (11.269)
Dunque, come nel caso bidimensionale abbiamo riportato il problema ad un problema
unidimensionale nella variabile radiale. Inoltre la funzione yEℓ(r) soddisfa
l’equazione di Schrödinger unidimensionale con un potenziale modificato
V (r) → V (r) + h/ 2 ℓ(ℓ + 1)
2µr 2
251
(11.270)