Meccanica Quantistica

Questo implica che se a t = 0 il sistema si trova in un autostato di A, allora continua
a rimanere in tale stato durante la sua evoluzione temporale. Infatti se a t = 0
allora al tempo t si ha
A|α, 0〉 = α|α, 0〉 (11.47)
A|α, t〉 = A(U(t)|α, 0〉) = U(t)A|α, 0〉 = α(U(t)|α, 0〉) = α|α, t〉 (11.48)
Infatti [A, H] = 0 implica [U(t), A] = 0.
Calcoliamo ora l’azione dell’operatore di traslazione per una traslazione finita
sulla funzione d’onda. Si ha
〈x|e −iPa
h/ |ψ〉 = e −a d
dxψ(x) =
∞ (−a) n
n=0
n!
dnψ(x) = ψ(x − a) (11.49)
dxn 11.2 Implicazioni dell’invarianza per traslazioni
Per un sistema invariante sotto traslazioni
[P, H] = 0 ⇒ [T(a), U(t)] = 0 (11.50)
Le conseguenze di questa relazione sono illustrate in Figura 11.2
U(t) |Ψ(0) U(t) T(a) |Ψ(0) = T(a) U(t) |Ψ(0)
A B
T(a)
U(t) U(t)
|Ψ(0)
T(a)
T(a) |Ψ(0)
Figura 11.2: Il sistema B ottenuto con una traslazione da A al tempo t = 0, si può
ancora ottenere tramite una traslazione di A al tempo t, se la teoria è invariante
per traslazioni.
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