Meccanica Quantistica

Dunque l’azione dell’operatore di rotazione sarà
U(R)|r; j, m〉 = e −iα · L |r〉 ⊗ e −iα · S |j, m〉 (15.33)
Questa espressione può essere riscritta (ricordando la (11.148)) nella forma
U(R)|r; j, m〉 = |
Rijxj〉 ⊗ e −iα · S
|j, m〉 =
e definendo la matrice
segue
j
= |
Rijxj〉 ⊗
j
+j
m ′ =−j
|j, m ′ 〉〈j, m ′ |e −iα · S |j, m〉 (15.34)
D j (R)m ′ m = 〈j, m ′ |e −iα · S |j, m〉 (15.35)
U(R)|r; j, m〉 = |
Rikxk〉 ⊗
k
+j
m ′ =−j
Per calcolare l’azione sulla funzione d’onda consideriamo
U(R)|ψ〉 =
m ′′
=
m ′ ,m ′′
e effettuando il cambio di variabili
si trova
U(R)|ψ〉 =
m ′ ,m ′′
|j, m ′ 〉D j (R)m ′ m
d 3 xU(R)|x; j, m ′′ 〉ψj(x, m ′′ ) =
(15.36)
d 3 x|
Rikxk; j, m ′ 〉D j (R)m ′ m ′′ψj(x, m ′′ ) (15.37)
x ′ i
k
=
k
Rikxk
d 3 x ′ |x ′ ; j, m ′ 〉D j (R)m ′
m ′′ψj(
Da cui, proiettando sullo stato 〈x; j, m|
(x, m) ≡ 〈x; j, m|U(R)|ψ〉 = D j
(R)mm ′ψj(
ψ R j
m ′
j
k
(15.38)
R −1
ik x′ k, m ′′ ) (15.39)
R −1
ik xk, m ′ ) (15.40)
Nella base spinoriale in cui ψj(x) è un vettore con 2j + 1 componenti e D j (R) una
matrice (2j + 1) × (2j + 1) si scrive
ψ R j (x) = D j (R)ψj(R −1 x) (15.41)
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