Meccanica Quantistica

Capitolo 9
Il principio di indeterminazione
Abbiamo fin qui mostrato varie situazioni in cui il principio di indeterminazione
esplica i suoi effetti. Passiamo adesso a una dimostrazione formale. Infatti questo
principio, sebbene sia uno dei capisaldi fisici su cui si regge la meccanica quantistica,
dal punto di vista della formulazione in termini dei postulati risulta una semplice
conseguenza del formalismo. Abbiamo già mostrato che due osservabili che non
commutano sono incompatibili, cioè non è possibile definire un processo di misura
tale da misurare simultaneamente queste osservabili. Questo fatto, che è appunto la
base del principio di indeterminazione, può essere espresso in modo più quantitativo
in termini delle indeterminazioni sulle osservabili in esame. Consideriamo allora due
osservabili hermitiane, A e B, tali che
[A, B] = iC (9.1)
con C una terza variabile hermitiana. Supponiamo che il sistema si trovi in un dato
stato |ψ〉 e definiamo nuove osservabili sottraendo il valore di aspettazione delle
precedenti
 = A − 〈A〉, ˆ B = B − 〈B〉 (9.2)
Avremo
(∆A) 2 (∆B) 2 = 〈ψ| Â2 |ψ〉〈ψ| ˆ B 2 |ψ〉 = 〈 Âψ|Âψ〉〈 ˆ Bψ| ˆ Bψ〉 (9.3)
Facendo uso della disuguaglianza di Schwarz (vedi Sezione 4.2)
|v1| 2 |v2| 2 ≥ |〈v1|v2〉| 2
dove il segno di uguaglianza vale solo per vettori paralleli, segue
dove
(∆A) 2 (∆B) 2 ≥ |〈 Âψ| ˆ Bψ〉| 2 = |〈ψ| Â ˆ B|ψ〉| 2
=
〈ψ|
1
2 [Â, ˆ B]+ + 1
2 [Â, ˆ
B]
(9.4)
2
|ψ〉
(9.5)
[A, B]+ = AB + BA (9.6)
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