Meccanica Quantistica

4.7 Trasformazioni attive e passive
Possiamo applicare a tutti i vettori di uno spazio vettoriale, V , una trasformazione
unitaria
|v〉 → U|v〉, ∀ |v〉 ∈ V, U † U = I (4.134)
Come abbiamo visto il prodotto scalare tra due vettori rimane inalterato, mentre
gli elementi di matrice di un determinato operatore A sono trasformati come segue
〈v ′ |A|v〉 ⇒ 〈Uv ′ |A|Uv〉 = 〈v ′ |U † AU|v〉 (4.135)
In questo caso si parla di una trasformazione attiva. Lo stesso risultato, in termini
di elementi di matrice, si otterrebbe lasciando fissi i vettori e ruotando gli operatori
con la trasformazione unitaria U:
A → U † AU (4.136)
In questo caso si parla di trasformazione passiva. La nomenclatura fa riferimento
ai vettori consueti in cui le trasformazioni attive equivalgono a trasformare i vettori,
mentre vengono lasciati inalterati in una trasformazione passiva. L’opposto accade
per gli operatori. I due tipi di trasformazioni sono equivalenti sul piano della fisica,
dato che non cambiano i valori dei prodotti scalari (questo sarà visto meglio nel
seguito).
Ci sono delle operazioni che si possono fare sugli operatori e che sono invarianti
sotto trasformazioni unitarie. Per esempio la traccia (somma degli elementi
diagonali):
n
Tr[A] =
(4.137)
L’invarianza deriva dalla proprietà fondamentale della traccia 4
Infatti
i=1
Aii
Tr[AB] = Tr[BA] (4.138)
Tr[AB] =
AijBji =
BjiAij = Tr[BA] (4.139)
Da questa segue la proprietà ciclica della traccia
i,j
Tr[ABC] = Tr[A(BC)] = Tr[(BC)A] = Tr[B(CA)] = Tr[CAB] (4.140)
Usando quest’ultima si ha
i
Tr[U † AU] = Tr[UU † A] = Tr[A] (4.141)
Anche il determinante è invariante sotto trasformazioni unitarie. Infatti
det|U † AU| = det|U † | det|U| det|A| = det|U † U| det|A| = det|A| (4.142)
4 Questa proprieta’ della traccia, detta proprieta’ ciclica, e’ sempre valida negli spazi vettoriali
di dimensione finita. In dimensioni infinite ci sono operatori per i quali la traccia non e’ definita,
in quanto risulta divergente. In questo caso non vale nemmeno la proprieta’ ciclica
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