Meccanica Quantistica

frequenza della radiazione emessa calcolata classicamente (cioè data dalla frequenza
di rotazione dell’elettrone) coincidesse con quella ottenuta dai termini spettrali.
Questo è ragionevole dato che per grandi n e m i livelli si infittiscono e tendono
ad un continuo, come ci si aspetta classicamente. Questa ipotesi si chiama il
principio di corrispondenza. Da questa identificazione si ricava l’espressione per la
costante di Rydberg e quindi la quantizzazione dei raggi delle orbite e del momento
angolare.
Sebbene questo risultato di Bohr sia stato uno dei primi successi dell’ipotesi
quantistica è chiaro che eravamo ben lontani dall’avere una teoria soddisfacente.
Comunque le idee di Bohr furono generalizzate in seguito da Sommerfeld e Watson
(1915) che considerarono moti periodici e proposero la loro quantizzazione
richiedendo che i seguenti integrali di fase soddisfacessero la condizione
pidqi = 2πnih/ (2.111)
con (pi, qi) variabili canonicamente coniugate ed ni interi arbitrari. L’integrale è
esteso ad un periodo del moto. Da queste regole si ricavano facilmente le energie di
un oscillatore armonico
En = nhν (2.112)
Infatti, dato che energia e tempo sono variabili canonicamente coniugate, segue
T
0
Edt = ET = nh (2.113)
e da T = 1/ν, segue E = nhν (ma la meccanica quantistica da En = (n + 1)hν)
e 2
le energie dei livelli atomici nel caso di orbite ellittiche. Si può anche osservare che
dalla quantizzazione di Sommerfeld e Watson segue subito la condizione di Bohr.
Infatti, usando coordinate polari (r, θ, φ), si ha che pφ è la componente del momento
angolare perpendicolare al piano dell’orbita, e quindi
pφdφ = nh −→ 2πMz = nh −→ Mz = nh/ (2.114)
È interessante osservare che la relazione di De Broglie permette di ricavare in modo
molto semplice la regola di quantizzazione del momento angolare che porta allo
spettro dell’atomo di idrogeno. Infatti se l’onda di De Broglie deve corrispondere
ad un moto circolare occorrerà richiedere che in una circonferenza ci sia un numero
intero di lunghezze d’onda (vedi Fig. 2.15) e quindi
Ed usando λ = h/p segue subito
che coincide con la seconda delle ipotesi di Bohr.
2πr = nλ, n = 1, 2, · · · (2.115)
pr = Mz = nh/ (2.116)
29