Meccanica Quantistica

Il valor medio dell’energia si calcola come nel caso classico ma adesso avremo
∞
Z = exp(−βnhν) (2.34)
n=0
Questa è una serie geometrica e quindi
Calcolando la derivata si trova
Z =
0
¯ǫ =
1
1 − exp(−βhν)
hν
exp(βhν) − 1
(2.35)
(2.36)
che sostituito nella (2.27) riproduce la formula di Planck (2.20). È importante
realizzare che mentre la fisica classica assegna la stessa energia media a tutti gli
oscillatori indipendentemente dalla loro frequenza, e quindi porta alla catastrafofe
ultravioletta, il risultato di Planck mostra che i modi a frequenza più alta devono
contribuire meno alla media termodinamica. Come risultato la costante di Stefan-
Boltzmann risulta adesso finita ed in accordo con l’esperimento. Infatti, integrando
la formula di Planck su tutte le frequenze (vedi (2.14)) ed usando
∞
x3dx π4
= (2.37)
exp(x) − 1 15
si trova
σ = π2 k 4
60c 2 h/ 3 = 5.671 × 10−8 Js −1 m −2 K −4
2.2 Calori Specifici a Bassa Temperatura
(2.38)
I calori specifici possono essere calcolati classicamente usando la legge di Dulong e
Petit. Se assimiliamo gli atomi di un solido ad un sistema di oscillatori tridimensionali,
segue dalla sezione precedente che l’energia media per atomo, all’equilibrio
termodinamico, è data da
¯ǫ = 3kT (2.39)
dato che si hanno ora tre gradi di libertà per ogni oscillatore. Quindi l’energia
interna per mole risulterà
U = NA¯ǫ = 3NAkT = 3RT (2.40)
dove NA = 6.022×1023 è il numero di Avogadro e R la costante dei gas, R = NAk =
8.316 J/(mole K) = 1.988 Cal/(mole K), dove abbiamo usato 1 Cal = 4.185 J. Si
trova allora per il calore specifico a volume costante
cV = ∂U(T)
∂T
V
= 3R ≈ 6 Cal/(moleK) (2.41)
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