Meccanica Quantistica

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e quindi Pertanto, da j ≈ ψ ∗ ∂ψ segue che si avrà lim r→∞ r3/2ψ = 0 (6.115) lim r→∞ r4j = 0 (6.116) e l’integrale a secondo membro dell’equazione di continuità è nullo. Si riottiene così la conservazione della probabilità totale. Esercizio: Calcolare la relazione tra densità di probabilità e densità di corrente di probabilità per un’onda piana tridimensionale Dato che segue ψp = · x 1 h/ (2πh/) 3/2eip (6.117) ∇ψp = i p h/ ψp (6.118) j(x, t) = ih/ −i 2m p h/ ψ∗ pψp − i p h/ ψ∗ pψp = p P(x, t) = vP(x, t) (6.119) m Vediamo che la relazione è analoga a quella dell’elettromagnetismo in cui j = vρ. Esercizio: Calcolare la densità di corrente di probabilità per la seguente funzione d’onda nel caso unidimensionale: i ψ(x) = Ae px −i h/ + Be px h/ (6.120) Svolgendo i calcoli si trova j = p m (|A|2 − |B| 2 ) (6.121) Come si vede non ci sono termini di interferenza tra le due onde e quindi possiamo associare le due componenti della densità di corrente con le due componenti di ψ con l’ovvia interpretazione che una parte corrisponde a un’onda che si propaga con velocità v e l’altra con velocità −v. In formule j = vPA + (−v)PB, PA = |ψA| 2 , PB = |ψB| 2 ψ = ψA + ψB 165 (6.122) (6.123)
6.4 Un problema di diffusione: il gradino di potenziale Consideriamo un potenziale unidimensionale V (x) con le proprietà lim x→+∞ V (x) = V0, lim V (x) = 0 (6.124) x→−∞ Nel caso classico, se E < V0 la particella non potrà arrivare a +∞ perché verra’ riflessa, mentre se E > V0 la particella viene trasmessa. In meccanica quantistica, il carattere ondulatorio della equazione di Schrödinger conduce a fenomeni nuovi. In particolare una particella con E < V0 ha una probabilità non nulla di trovarsi nella regione vietata classicamente. per esempio, se si ha una barriera di potenziale come illustrata in Figura 6.6, in meccanica quantistica la particella può penetrare nella zona x > 0. Questo fenomeno prende il nome di effetto tunnel. Se invece E > V0 la particella può essere riflessa dalla barriera. Per dimostrare questa proprietà dovremmo risolvere un problema dipendente dal tempo, dato che si tratta di un fenomeno di diffusione. D’altra parte questa dipendenza può essere ignorata se consideriamo autostati dell’energia. Consideriamo il potenziale di Figura 6.6. La V 0 V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx I II Figura 6.6: Il potenziale a gradino. funzione d’onda di una particella con energia E > V0 sarà del tipo con ψk0(x) −−−−−→ x→−∞ Ae ik1x + Be −ik1x −−−−−→ x→+∞ Ce ik2x x (6.125) k 2 2mE 1 = h/ 2 , k 2 2m(E − V0) 2 = h/ 2 (6.126) Per x < 0 la prima parte della funzione d’onda corrisponde all’onda incidente e la seconda all’onda riflessa, mentre la parte per x > 0 corrisponde all’onda trasmessa. 166
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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In questo caso la distribuzione mis
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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