Meccanica Quantistica

Notiamo che
e inoltre
e
[Jz, J±] = [Jz, Jx ± iJy] = iJy ± Jx = ±J±
[J+, J−] = [Jx + iJy, Jx − iJy] = 2Jz
(11.170)
(11.171)
[ J 2 , J±] = 0 (11.172)
Pertanto J± si comportano come operatori di creazione e distruzione degli autovalori
di Jz, mentre lasciano invariati gli autovalori di J 2 . Infatti
da cui
Jz(J±|λ, m〉) = (J±Jz ± J±)|λ, m〉 = J±(m ± 1)|λ, m〉 (11.173)
Jz(J±|λ, m〉) = (m ± 1)(J±|λ, m〉) (11.174)
Dunque J±|λ, m〉 appartiene all’autovalore m ± 1 di Jz. Mentre da
J 2 (J±|λ, m〉) = J± J 2 |λ, m〉 = λJ±|λ, m〉 (11.175)
segue che J± non cambia gli autovalori di J 2 . Dunque
Inoltre si hanno le seguenti relazioni
J±|λ, m〉 ≈ |λ, m ± 1〉 (11.176)
J+J− = (Jx + iJy)(Jx − iJy) = J 2 x + J2 y − i[Jx, Jy] = J 2 x + J2 y + Jz = J 2 − J 2 z + Jz
(11.177)
e analogamente
J−J+ = J+J− − 2Jz = J 2 − J 2 z − Jz
(11.178)
Il quadro completo delle relazioni di interesse che abbiamo trovato è dunque
[ J 2 , J±] = 0, [Jz, J±] = ±J±, [J+, J−] = 2Jz (11.179)
J+J− = J 2 − J 2 z + Jz, J−J+ = J 2 − J 2 z − Jz (11.180)
J+|λ, m〉 = N+|λ, m + 1〉, J−|λ, m〉 = N−|λ, m − 1〉 (11.181)
Vediamo che gli operatori in (11.180) sono diagonali nella base considerata e che i
loro elementi di matrice sono
D’altra parte si ha
〈λ, m|J+J−|λ, m〉 =
m ′
〈λ, m|J+J−|λ, m〉 = (λ − m 2 + m)
〈λ, m|J−J+|λ, m〉 = (λ − m 2 − m) (11.182)
〈λ, m|J+|λ, m ′ 〉〈λ, m ′ |J−|λ, m〉 =
241
m ′
|〈λ, m|J+|λ, m ′ 〉| 2 ≥ 0
(11.183)