Meccanica Quantistica

a
b
x x
1 2
Figura 4.7: Il sistema di due molle accoppiate.
Ovviamente il problema è quello di determinare x1(t) e x2(t) assegnate le posizioni
e le velocità iniziali. Supponiamo che le velocità iniziali siano nulle. Pertanto
il problema diviene quello di determinare x1(t) e x2(t) noti x1(0) e x2(0). Iniziamo
riscrivendo le equazioni del moto nella forma
¨x1 Ω11 Ω12 x1
=
(4.303)
¨x2 Ω21 Ω22 x2
dove abbiamo definito
Ω11 = Ω22 = − 2k
m , Ω12 = Ω21 = k
m
(4.304)
Possiamo riguardare a x1 e x2 come alle componenti di un vettore astratto e a Ωij
come agli elementi di matrice di un operatore hermitiano Ω nello spazio V 2 (R). Le
equazioni del moto possono essere riscritte nella forma astratta
|¨x(t)〉 = Ω|x(t)〉 (4.305)
Ovviamente la base in cui queste equazioni astratte diventano le precedenti, quando
espresse in componenti, è data da
1 0
|1〉 ⇔ , |2〉 ⇔
(4.306)
0 1
Vista la linearità del sistema possiamo interpretare i vettori di base come spostamenti
pari ad uno per la prima e per la seconda massa rispettivamente. Il generico
vettore
o
x1(t) 1 0
= x1(t) + x2(t)
x2(t) 0 1
(4.307)
|x〉 = x1|1〉 + x2|2〉 (4.308)
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