Meccanica Quantistica

Osserviamo anche che nella base delle x la soluzione dell’equazione di Schrödinger è
ψ(x, t) = U(x, t; x ′ )ψ(x ′ , 0)dx ′
(6.24)
Se invece di considerare l’intervallo (0, t) si considera l’intervallo (t ′ , t) si ha
e quindi
e
U(t − t ′ ) =
+∞
−∞
|p〉〈p|e −ip2 (t − t ′ )
2mh/ dp (6.25)
U(x, t; x ′ , t ′ ) = 〈x|U(t − t ′ )|x ′ 〉 = U(x, t − t ′ ; x ′ ) (6.26)
ψ(x, t) =
U(x, t − t ′ ; x ′ )ψ(x ′ , t ′ )dx ′
(6.27)
Il propagatore nello spazio delle configurazioni ha una semplice interpretazione. Supponiamo
di avere uno stato iniziale corrispondente ad una particella localizzata nel
punto x0. In questo caso
ψ(x ′ , 0) = δ(x ′ − x0) (6.28)
e quindi
ψ(x, t) =
U(x, t; x ′ )δ(x ′ − x0)dx ′ = U(x, t; x0) (6.29)
Pertanto U(x, t; x0) rappresenta l’ampiezza di probabilità che ha una particella
localizzata a x0 al tempo t, di raggiungere il punto x al tempo t 1 .
Dunque l’interpretazione di una equazione del tipo (6.24) è che l’ampiezza totale
per arrivare al punto x al tempo t è la somma dei contributi da tutti i punti x ′ al
tempo t = 0 pesati con l’ampiezza di probabilità di avere la particella inizialmente
al punto x ′ .
6.1.1 Evoluzione temporale di un pacchetto gaussiano
Consideriamo una particella libera in uno stato iniziale caratterizzato da una funzione
d’onda gaussiana (pacchetto d’onde gaussiano) e da un fattore di tipo onda
piana che fornisce, come vedremo, un valor medio dell’impulso diverso da zero:
ψ(x ′ ′
ip0x
, 0) = e h/
1
(π∆2 ) 1/4e− x′ 2
2∆2 = 〈x ′ |ψ(0)〉 (6.30)
1 Ovviamente questa proprietà è vera in ogni base, infatti 〈ω|U(t)|ω ′ 〉 è l’ampiezza di probabilità
affinché lo stato |ω ′ 〉 al tempo t = 0 si evolva nello stato |ω〉 al tempo t.
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