Meccanica Quantistica

il ket corrispondente, avremo
|ω = 2, 1〉 = 1
⎛ ⎞
1
√ ⎝1⎠
(4.199)
3
1
A questo punto possiamo fissare l’altro autovettore scegliendo v2/v1 in modo che sia
ortogonale al precedente:
1 1
√
3 2 + (v2/v1) 2
⎛ ⎞
1
1 1 1 ⎝v2/v1⎠
=
1
1 1
√
3 2 + (v2/v1) 2(2+v2/v1) = 0 (4.200)
Quindi
e, normalizzando
v2 = −2v1
(4.201)
|ω = 2, 2〉 = 1 ⎛ ⎞
1
√ ⎝−2⎠
(4.202)
6
1
In generale, se un autovalore ωi è mi volte degenere, il simbolo |ωi〉 non si riferirà
ad un singolo ket ma ad un generico elemento dell’autospazio mi-dimensionale V mi
ωi .
In questo autospazio potremo scegliere mi vettori ortogonali tra loro e che dovranno
essere distinti da un ulteriore indice α che prenderà mi valori.
Tutti i teoremi e le considerazioni precedenti possono essere formulate anche per
gli operatori unitari. Precisamente si ha:
Teorema: Gli autovalori di un operatore unitario sono numeri complessi di modulo
1, cioè della forma e iφ . Gli autovettori di un operatore unitario sono mutuamente
ortogonali
Nel caso di non degenerazione la dimostrazione è semplice. Scriviamo
Prendendo l’aggiunta della seconda si ha
U|ui〉 = ui|ui〉, U|uj〉 = uj|uj〉 (4.203)
〈uj|U † = 〈uj|u ∗ j
Moltiplicando questa equazione per la prima delle precedenti segue
e tenuto conto dell’unitarietà di U
(4.204)
〈uj|U † U|ui〉 = (u ∗ jui)〈uj|ui〉 (4.205)
(1 − u ∗ jui)〈uj|ui〉 = 0 (4.206)
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