Meccanica Quantistica

Nella base delle coordinate si ha
e posto
〈x|H|E〉 = E〈x|E〉 (8.30)
ψE(x) = 〈x|E〉 (8.31)
si trova
2
h/ d
−
2m
2 1
+
dx2 2 mω2x 2
ψE(x) = EψE(x) (8.32)
o
d2ψE(x) 2m
+
dx2 h/ 2
E − 1
2 mω2x 2
ψE(x) = 0 (8.33)
Nei problemi è sempre conveniente far uso di variabili adimensionali che in qualche
modo siano suggerite dal problema stesso. Se poniamo x = by con [b] = ℓ, in modo
che y risulti adimensionale, si trova
L’ultimo termine suggerisce di scegliere
h/
b =
mω
e di porre
d2ψE 2mb2
+
dy2 h/ 2 E − m2ω2b4 h/ 2 y 2 ψE = 0 (8.34)
ǫ = mE
h/ 2 b2 = mE
h/ 2
h/
mω
= E
h/ω
Dato che h/ ha le dimensioni di un’azione, segue
h/
=
mω
E · t
m · t−1 = v2t 2 = ℓ 2
e
(8.35)
(8.36)
(8.37)
[h/ω] = E · t · t −1 = E (8.38)
Dunque b ha le dimensioni di una lunghezza e ǫ è adimensionale. Infatti il problema
è caratterizzato dalle costanti ω e m e dunque h/ω e (h//mω) 1/2 sono le quantità
naturali da usare come scala di energia e di lunghezza. L’equazione di Schrödinger
diventa
ψ ′′ E + (2ǫ − y2 )ψE = 0 (8.39)
Risolveremo adesso questa equazione usando un metodo che è in genere molto utile
per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie, ma come vedremo in seguito,
il metodo più conveniente da seguire è un altro, che si basa sull’uso di una base
diversa da quella delle coordinate.
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