Meccanica Quantistica

spazio con Λ avente un autovalore doppiamente degenere e una corrispondente base
ortonormale data da
|ω1, λ〉, |ω2, λ〉, |ω3, λ3〉 (5.103)
Supponiamo poi di avere uno stato normalizzato
|ψ〉 = α|ω3, λ3〉 + β|ω1, λ〉 + γ|ω2, λ〉 (5.104)
Se misurando Ω si ottiene ω3, la misura successiva di Λ darà sicuramente λ3 con
probabilità per le due misure
P(ω3, λ3) = |α| 2
(5.105)
Supponiamo invece di ottenere ω1 dalla prima misura, lo stato diventerà |ω1λ〉 e il
risultato di misurare Λ darà con certezza λ. La probabilità complessiva risulterà pari
a |β| 2 . Se invece effettuiamo le misure in ordine inverso e il risultato della misura di
Λ è λ, otterremo lo stato normalizzato
con probabiltà
|ψ ′ 〉 =
Pλ|ψ〉
|〈Pλψ|Pλψ〉| 1/2 = β|ω1, λ〉 + γ|ω2, λ〉
(β2 + γ2 ) 1/2
P(λ) = |β| 2 + |γ| 2
Se adesso misuriamo Ω otterremo lo stato |ω1, λ〉 con probabilità
P(ω1) =
|β| 2
|β| 2 + |γ| 2
Quindi la probabilità di ottenere λ seguito da ω1 sarà
P(λ, ω1) = P(λ)P(ω1) = (|β| 2 + |γ| 2 ) ×
(5.106)
(5.107)
(5.108)
|β| 2
|β| 2 + |γ| 2 = |β|2 = P(ω1, λ) (5.109)
Pertanto la probabilità non dipende dall’ordine delle misure nemmeno nel caso degenere.
D’altra parte lo stato può cambiare. In generale possiamo dunque dire per
osservabili compatibili l’autovalore misurato nella prima misura non cambia a seguito
della seconda misura. Corrispondentemente anche l’autospazio non cambia.
D’altra parte nel caso degenere sappiamo che l’autospazio non determina univocamente
un autovettore e quindi il vettore di stato può essere alterato dalla seconda
misura. In conclusione un processo di misura può essere usato per preparare un
sistema in un determinato stato quantico. Se siamo nel caso degenere e misuriamo
l’osservabile Ω possiamo solo dire che il vettore risultante sta nell’autospazio Vω.
Possiamo allora misurare una osservabile compatibile con Ω, diciamo Λ. Se questa
osservabile è non degenere nell’autospazio Vω otterremo un vettore ben definito
|ω, λ〉, altrimenti dovremo trovare una terza variabile compatibile Γ. Alla fine di
questo processo avremo rimosso tutta la degenerazione e avremo ottenuto uno stato
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