Meccanica Quantistica

Da
u ′ ℓ =
ρu ′′
ℓ =
∞
ckkρ k−1 =
k=0
∞
k=0
∞
k=0
k(k + 1)ck+1ρ k
ck+1(k + 1)ρ k
sostituendo nell’equazione per uℓ e comparando potenze uguali di ρ si trova
(12.26)
k(k + 1)ck+1 + 2(ℓ + 1)(k + 1)ck+1 − kck − (ℓ + 1)ck + λe 2 ck = 0 (12.27)
La relazione di ricorrenza per i coefficienti è dunque
ck+1
Vediamo che nel limite di k → ∞ si ha
ck
= ℓ + k + 1 − λe2
k → ∞ :
(k + 1)(2ℓ + 2 + k)
ck+1
ck
→ 1
k
(12.28)
(12.29)
Pertanto se la serie non si arrestasse si avrebbe uℓ → e ρ , ma dato che uℓ non deve
divergere esponenzialmente all’infinito segue che la serie si deve arrestare. La serie
si arresta quando è soddisfatta la relazione
da cui
Si trova così la condizione di quantizzazione per l’energia
dove si è posto
e 2
λ = 1
e2(ℓ + k + 1) (12.30)
µZ2 2h/ 2 = ℓ + k + 1 (12.31)
|E|
E = −|E| = − µZ2 e 4
Pertanto per n fissato i possibili valori di ℓ sono
2h/ 2 n 2
(12.32)
n = ℓ + k + 1 = 1, 2, · · · (12.33)
ℓ = n − k − 1 = n − 1, n − 2, · · · , 1, 0, (12.34)
Vediamo dunque che assegnato n l’energia non dipende da ℓ. La degenerazione si
conta facilmente osservando per per ogni ℓ si hanno 2ℓ+1 valori della proiezione del
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