Meccanica Quantistica

Pertanto
Ae −ikL/2 + Be ikL/2 = 0
Ae ikL/2 + Be −ikL/2 = 0 (6.59)
Per avere soluzioni non nulle in A e B il determinante del precedente sistema lineare
e omogeneo deve essere nullo e quindi
e −ikL − e ikL = 2i sin kL = 0 ⇒ kL = nπ, n = 0, ±1, ±2, · · · (6.60)
Vediamo che l’energia risulta quantizzata
En =
(h/k) 2
2m
Inoltre dalle condizioni al contorno si ha
cioè
2
h/ n
=
2m
2π2 L2 0 = Ae −ikL/2 + Be ikL/2 = Ae −inπ/2 + Be inπ/2
Dunque si hanno due tipi di soluzione, per n pari:
ψn(x) = An
e per n dispari
ψn(x) = An
(6.61)
(6.62)
A = −e inπ B = (−1) n+1 B (6.63)
e inπx/L − e −inπx/L
= 2iAn sin
nπ
L x
, |x| ≤ L/2 (6.64)
e inπx/L + e −inπx/L
nπ
= 2An cos
L x
, |x| ≤ L/2 (6.65)
I coefficienti An si determinano dalla condizione di normalizzazione. Per n pari:
1 =
+∞
∞
= 4L|An| 2
= 4L|An| 21
2
|ψn(x)| 2 dx = 4|An| 2
+L/2
sin 2
nπ
L x
+1/2
−L/2
sin
−1/2
2 (nπy)dy = 4L|An| 2
+1/2
−1/2
= 2L|An| 2
dx =
1 − cos(2nπy)
dy =
2
(6.66)
Lo stesso risultato si trova per n dispari. Quindi
n pari :
2
ψn(x) =
L sin
nπ
L x
, |x| ≤ L/2 (6.67)
n dispari : ψn(x) =
2
L cos
nπ
L x
, |x| ≤ L/2 (6.68)
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