Meccanica Quantistica

In modo del tutto simile si ha
J k − |λ, m〉 ≈ |λ, m − k〉 (11.192)
e dato che m è limitato inferiormente da 1/2 − 1/4 + λ esisterà un ¯j tale che
Da questa troviamo
Si ha dunque
che ha due soluzioni
J−|λ,¯j〉 = 0 (11.193)
〈λ,¯j|J+J−|λ,¯j〉 = λ − ¯j 2 + ¯j = 0 (11.194)
λ = ¯j(¯j − 1) = j(j + 1) (11.195)
¯j = −j, ¯j = j + 1 (11.196)
Ma poiché ¯j < j la soluzione corretta è ¯j = −j 5 . Dunque i possibili valori per m
risultano
−j, −j + 1, · · · , j − 1, j (11.197)
Pertanto m può assumere
e segue che
2j + 1 valori (11.198)
2j + 1 intero ⇒ j intero o semintero (11.199)
Dunque vediamo che l’autovalore di Jz può assumere sia valori interi che seminteri.
Ci si può chiedere perché nel caso bidimensionale avevamo trovato solo valori interi.
Questo è dovuto al fatto che in tal caso abbiamo quantizzato nello spazio delle
configurazioni ed abbiamo richiesto che la funzione d’onda ritorni allo stesso valore
dopo una rotazione di 2π. Per casi più generali in cui la funzione d’onda non è
semplicemente una funzione a valori complessi, ma una funzione a valori vettoriali
(basta pensare al campo elettromagnetico), la situazione è più complicata, perché
nella rotazione non basta calcolare la funzione nel punto ruotato, ma essa stessa può
subire una rotazione. In tal caso l’operatore di momento angolare si divide in due
parti (vedi nel seguito), una parte di momento orbitale, che agisce sulle coordinate,
e una parte che agisce invece sulle componenti della funzione d’onda (parte di spin.
È solo sulla parte orbitale che è richiesta la condizione che la funzione ritorni in sé
dopo 2π e quindi il momento orbitale potrà avere solo valori interi, mentre la parte
di spin (o intrinseca) potrà avere anche valori seminteri.
Ritorniamo alle (11.182)
〈λ, m|J−J+|λ, m〉 = λ − m 2 − m = j(j + 1) − m(m + 1) (11.200)
5 Allo stesso risultato si sarebbe arrivati notando che da λ = j(j +1) segue 1/4+λ = (j +1/2) 2
da cui i due limiti nella (11.187) diventano ±j
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