Meccanica Quantistica

è un vettore in uno spazio infinito-dimensionale (per di più continuo, cioè non numerabile).
Ovviamente le proprietà di spazio vettoriale non vengono alterate dal
limite, dato che queste sono definite tramite le equazioni (4.376). Le cose sono però
diverse con il prodotto scalare. Consideriamo la norma di un vettore per N finito
〈fN|fN〉 =
N
i=1
|f(xi)| 2
(4.382)
Nel limite N → ∞ la somma precedente diverge in pratica per qualunque funzione.
D’altra parte non è difficile alterare la definizione di prodotto interno in modo da
avere somme convergenti. Una scelta possibile (ma non l’unica) è, per esempio
con
〈fN|gN〉 =
N
f(xi) ∗ g(xi)∆N
∆N = L
N + 1
Nel limite N → ∞ si ottiene la definizione consueta di integrale
〈f|g〉 =
i=1
L
0
(4.383)
(4.384)
f(x) ∗ g(x)dx (4.385)
Si vede facilmente che questa definizione soddisfa tutte le proprietà che definiscono
in generale il prodotto interno. Ovviamente è possibile definire il prodotto interno
anche in altro modo. Infatti più in generale, se introduciamo la misura
dµ(x) = ρ(x)dx (4.386)
con ρ(x) definita positiva, la seguente espressione soddisfa le condizioni per definire
un prodotto interno
〈f|g〉 =
L
0
f ∗ (x)g(x)dµ(x) (4.387)
Se le funzioni sono definite in un intervallo generico [a, b] la forma più generale è
〈f|g〉 =
b
a
f ∗ (x)g(x)dµ(x) (4.388)
Dobbiamo vedere adesso come normalizzare i vettori di base. In ogni punto x
dell’intervallo in esame, avremo un autoket |x〉 tale che per ogni x ′ = x
〈x|x ′ 〉 = 0, x = x ′
(4.389)
D’altra parte, dato che nel passaggio dal discreto al continuo abbiamo cambiato la
definizione di prodotto scalare non potremo avere 〈x|x〉 = 1. Per capire cosa succede
consideriamo la relazione di completezza che vorremmo della forma
b
|x
a
′ 〉〈x ′ |dx ′ = I (4.390)
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