Meccanica Quantistica

Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pubblico’ il primo dei suoi lavori in cui riusciva
a dare una formulazione precisa delle intuizioni di De Broglie. Cio’ che Schrödinger
fece fu di scrivere un’equazione analoga, in un certo senso all’equazione per le
onde elettromagnetico. Nel caso dello stato stazionario di un atomo di energia En,
l’equazione soddisfatta dalla funzione d’onda ψn(q) era
H q, −ih/ ∂
ψn(q) = Enψn(q) (2.125)
∂q
La funzione H(q, p) e’ l’hamiltoniana classica sulla quale Schrödinger effettuava la
sostituzione
p → −ih/ ∂
∂q
(2.126)
Per l’atomo di idrogeno si ha
e dunque
H(x, p) =
H(x, −ih/ ∇) = − h/ 2
2 p e2
−
2m |x|
2m | ∇| 2 − e2
|x|
(2.127)
(2.128)
L’equazione differenziale che ne risultava era ben nota nella fisica matematica e non
e’ difficile trovare i valori En per i quali esistono soluzioni che si annullano all’infinito.
Infatti Schrödinger pensava correttamente che essendo l’elettrone presente solo
in vicinanza del nucleo, la funzione d’onda correlata dovesse annullarsi all’infinito.
In questo modo Schrödinger ricavo’ la formula di Bohr per le energie dell’atomo
di idrogeno. Il lavoro di Schrödinger ebbe molta risonanza anche perche’ faceva
uso di equazioni differenziali, sulle quali i fisici matematici dell’epoca erano molto
preparati, invece di usare un’algebra matriciale di conoscenza non comune. Inoltre
Schrödinger generalizzo’ la sua equazione d’onda al caso non stazionario
∂ψ(q, t)
ih/
∂t
= H
q, −ih/ ∂
ψ(q, t) (2.129)
∂q
Erwin Schrödinger realizzo’ molto presto che la funzione d’onda per un sistema
di molti elettroni non poteva essere definita nello spazio ordinario a tre dimensioni.
Per esempio, nel caso di due elettroni essa doveva dipendere dalle coordinate di
entrambi e quindi doveva essere una funzione di sei variabili spaziali e del tempo.
Ci si trovava davanti ad una generalizzazione mai vista prima, si aveva a che fare
con oggetti definiti in uno spazio astratto multidimensionale ed inoltre le funzioni
in oggetto assumevano valori complessi, come e’ chiaro dal fatto che in entrambe
le equazioni di Schrödinger, sia la (2.125) che la (2.129), compare esplicitamente
l’unita’ immaginaria.
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