Meccanica Quantistica

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Si verificano facilmente le relazioni [Li, Xj] = ih/ 3 ǫijkXk, i, j, k = 1, 2, 3 (11.152) dove ǫijk è il tensore di Ricci in tre dimensioni. Per esempio si ha Dalla relazione segue, per α infinitesimo e e quindi e i e α · L −i h/ Xie α · L h/ ≈ Xi + i h/ k=1 [XPy − Y Px, X] = ih/Y (11.153) U † (R)XiU(R) = Rik = δik + j 3 j=1 RijXj c j ik αj αj[Lj, Xi] = Xi + j c j ik = ǫijk (11.157) Rij = δij + k ǫijkαj j c j ik αjXk (11.154) (11.155) (11.156) (11.158) Più in generale un operatore V che soddisfa la (11.154) viene chiamato un operatore vettoriale. Segue anche che un operatore vettoriale soddisfa le regole di commutazione (11.152) con il momento angolare. Si vede anche facilmente che 4 [Li, Lj] = ih/ǫijkLk, i, j, k = 1, 2, 3 (11.159) Se inoltre si considera il quadrato del momento angolare L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z (11.160) si trova che commuta con tutte le componenti del momento angolare. Per esempio: Quindi [ L 2 , Lx] = [L 2 x + L 2 y + L 2 z, Lx] = [L 2 y + L 2 z, Lx] = = Ly[Ly, Lx] + [Ly, Lx]Ly + Lz[Lz, Lx] + [Lz, Lx]Lz = 0 (11.161) [ L 2 , Li] = 0, i = 1, 2, 3 (11.162) 4 Useremo indifferentemente gli indici x, y, z o 1, 2, 3 per indicare le componenti di un vettore 239
Inoltre se il sistema è invariante per rotazioni l’hamiltoniana soddisfa e in particolare U † (R)HU(R) = H ⇒ [U(R), H] = 0 ⇒ [Li, H] = 0 (11.163) [ L 2 , H] = 0 (11.164) Poiché le tre componenti del momento angolare non commutano tra loro, non è possibile trovare una base in cui si diagonalizzano simultaneamente. Sarà però possibile trovare una base in cui sono diagonali L 2 e una delle componenti del momento angolare, per esempio Lz. Inoltre se il sistema è invariante per rotazioni oltre ai due precedenti operatori si potrà diagonalizzare anche H. 11.6.1 Problema agli autovalori per L 2 e Lz Le proprietà algebriche dell’operatore di momento angolare permettono di trattare il problema della ricerca degli autovalori e autovettori di L 2 e Lz in modo molto simile a quanto fatto per l’oscillatore armonico. Infatti la positività dell’hamiltoniana dell’oscillatore che ne permetteva la fattorizzazione ci permetterà in questo caso la fattorizzazione di L 2 in operatori analoghi agli operatori di creazione e distruzione. Iniziamo definendo un operatore adimensionale con regole di commutazione J = 1 h/ L (11.165) [Ji, Jj] = iǫijkJk, i, j, k = 1, 2, 3 (11.166) Scegliamo poi una base in cui J 2 e Jz siano diagonali J 2 |λ, m〉 = λ|λ, m〉, Jz|λ, m〉 = m|λ, m〉 (11.167) In generale il problema potrà dipendere da altre osservabili commutanti con i due precedenti operatori e quindi lo stato sarà caratterizzato da un ulteriore set di indici α. D’altra parte valori distinti di α danno luogo a ortogonalità tra i corrispondenti stati e quindi possiamo considerare un valore fissato per questi indici. Pertanto potremo direttamente ignorarli e non inserirli nella notazione degli stati. In analogia all’oscillatore armonico introduciamo operatori di innalzamento e di abbassamento non hermitiani tale che J± = Jx ± iJy J † ± = J∓ 240 (11.168) (11.169)
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Page 267 and 268: I livelli energetici sono determina
Page 269 and 270: L’approssimazione WKB consiste ne
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Page 273 and 274: Se si considera un moto periodico,
Page 275 and 276: Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
Page 277 and 278: Ponendo a zero i coefficienti di ug
Page 279 and 280: e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Page 285 and 286: Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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