Meccanica Quantistica

misura il sistema viene proiettato nello
stato |ω〉 corrispondente all’autovalore ω.
4) Le variabili di stato evolvono secon- 4) Il vettore di stato evolve in accordo alla
do le equazioni di Hamilton: equazione di Schrödinger:
˙x = ∂H
, ˙p = −∂H
∂p ∂x
ih/ ∂
|ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉
∂t
dove H(X, P) = H(x → X, p → P) è
l’hamiltoniana quantistica, ottenuta dalla
hamiltoniana classica, seguendo il
postulato 2).
Notiamo che per entrambi i casi i primi tre postulati fanno riferimento al sistema a
un dato istante, mentre il quarto specifica la variazione dello stato con il tempo.
Iniziamo con l’osservare che mentre il sistema classico è descritto da due gradi
di libertà x e p, il sistema quantistico è specificato da un vettore di stato |ψ(t)〉
che, in genere, è un vettore in uno spazio di Hilbert infinito-dimensionale. L’interpretazione
fisica del vettore di stato è fornita dai postulati 2) e 3). Abbiamo detto
che assegnato lo stato (x, p) (o il punto nello spazio delle fasi), in meccanica classica
ogni osservabile ω è univocamente assegnata dal suo valore ω(x, p). Viceversa in
meccanica quantistica, allorché sia assegnato lo stato, per misurare una osservabile
Ω dobbiamo effettuare le seguenti operazioni:
1) - Costruire l’operatore hermitiano Ω corrispondente alla variabile dinamica ω
tramite la regola di corrispondenza
Ω = ω(x → X, p → P) (5.1)
2) - Determinare gli autovettori |ωi〉 e gli autovalori ωi di Ω.
3) - Espandere il vettore di stato nella base degli autovettori di Ω
|ψ〉 =
|ωi〉〈ωi|ψ〉 (5.2)
i
4) - La probabilità P(ωi) di ottenere come risultato della misura l’autovalore ωi è
P(ωi) ∝ |〈ωi|ψ〉| 2
Questo risultato si può anche esprimere usando il proiettore Pωi = |ωi〉〈ωi|
(5.3)
P(ωi) ∝ 〈ψ|ωi〉〈ωi|ψ〉 = 〈ψ|Pωi |ψ〉 = 〈ψ|PωiPωi |ψ〉 = 〈Pωiψ|Pωiψ〉 (5.4)
ovvero che la probabilità è la norma quadrata della proiezione del vettore di stato
sull’autovettore corrispondente all’autovalore misurato.
Possiamo fare alcune osservazioni:
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