Meccanica Quantistica

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I 6 5 V(x) a 4 E b 3 2 1 II III 3 2 1 0 1 2 3 Figura 13.3: La figura mostra una barriera di potenziale. I turning points in corrispondenza all’energia E sono indicati con a e b. Qui T e’ il coefficiente di trasmissione da determinarsi. In accordo alla (13.19) la funzione WKB nella regione proibita e’ crescente e si ha 1 T ψIII(x) → ψII eh/ |p(x)| b |p(x x ′ )|dx ′ = 1 T eh/ |p(x)| b |p(x a ′ )|dx ′ 1 − e h/ x |p(x a ′ )|dx ′ (13.30) L’esponenziale decrescente e’ a sua volta connesso con la funzione ψI nella regione I, tramite la (13.18) 1 ψI(x) = Te h/ b |p(x a ′ )|dx ′ 2 cos |p(x)| x 1 p(x h/ a ′ )dx ′ + π 4 (13.31) Se assumiamo che la particella α sia descritta da un’onda stazionaria, sovrapposizione di due esponenziali immaginari WKB e che questa sia di ampiezza uno, segue che l’esponenziale crescente nella precedente equazione deve essere compensato da T. Pertanto il coefficiente di trasmissione attraverso la barriera e’ dato da 1 − T = e h/ b |p(x a ′ )|dx ′ (13.32) Come sappiamo, se il potenziale va a zero all’infinito la velocita’ delle onde trasmessa e incidente sono uguali e pertanto il rapporto tra i flussi e’ dato da itr iinc = |T | 2 (13.33) Notiamo che nella nostra approssimazione per ψI stiamo di fatto assumendo che il flusso incidente e quello riflesso siano uguali. Questo e’ chiaramente consistente se e solo se il flusso trasmesso e’ molto piccolo, cioe’ |T | 2 ≪ 1 (13.34) Questa condizione e’ soddisfatta in particolare se i punti a e b sono ben separati. 271
Capitolo 14 Teoria delle perturbazioni nel caso stazionario 14.1 La teoria perturbativa nel caso non degenere In generale l’equazione di Schrödinger è di difficile soluzione e occorre ricorrere a metodi approssimati, di cui abbiamo visto un esempio nel capitolo precedente. Il caso tipico che considereremo in questo capitolo è quello di una hamiltoniana della forma H = H0 + H1 (14.1) con H0 e H1 indipendenti dal tempo e dove si suppone di saper risolvere esattamente il problema agli autovalori per H0 e in qualche senso, da precisare ulteriormente dato che si tratta di operatori, H1 è piccolo rispetto a H0. L’idea è di effettuare uno sviluppo in serie degli elementi di matrice di H1. A questo scopo, per tenere traccia delle potenze è conveniente introdurre un parametro λ e scrivere H = H0 + λH1 (14.2) Le potenze di λ ci diranno quale ordine stiamo considerando nello sviluppo e alla fine porremo λ = 1. Supponiamo allora di saper risolvere il problema agli autovalori per H0 H0|n 0 〉 = E 0 n |n0 〉 (14.3) e inoltre che il livello E0 n considerato non sia degenere. Il problema agli autovalori per H sarà H|n〉 = En|n〉 (14.4) con lim λ→0 En = E 0 n 272 (14.5)
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Page 243 and 244: Inoltre se il sistema è invariante
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Page 253 and 254: che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
Page 255 and 256: Come vedremo in un momento il secon
Page 257 and 258: e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
Page 259 and 260: Ovviamente questo stesso problema i
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Page 263 and 264: Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
Page 265 and 266: e quindi a = 2Z n La variabile adim
Page 267 and 268: I livelli energetici sono determina
Page 269 and 270: L’approssimazione WKB consiste ne
Page 271 and 272: problema di connettere le soluzioni
Page 273: Se si considera un moto periodico,
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Page 281 and 282: Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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Page 285 and 286: Capitolo 15 Momento angolare intrin
Page 287 and 288: Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
Page 289 and 290: Dunque l’azione dell’operatore
Page 291 and 292: e proiettando sulla base |x; j, m
Page 293 and 294: Consideriamo adesso il caso di un c
Page 295 and 296: In realtà l’espressione corretta
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Page 299 and 300: e applicare a entrambi i membri l
Page 301 and 302: 15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
Page 303 and 304: 15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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