Meccanica Quantistica

Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si ha
2
1 h/
−
ψE1(x1) 2m1
2
1 h/
+
−
ψE2(x2) 2m2
Questa è una equazione del tipo
che ha per soluzione
con
Pertanto si hanno le due equazioni
h/ 2
−
2mi
∂ 2
∂x 2 1
∂ 2
∂x 2 2
+ V1(x1)
+ V2(x2)
ψE1(x1) +
ψE2(x2) = E (10.55)
f1(x1) + f2(x2) = E (10.56)
f1(x1) = E1, f2(x2) = E2 (10.57)
∂ 2
∂x 2 i
E = E1 + E2
+ Vi(xi)
Ovviamente a questa soluzione corrisponde la funzione d’onda
(10.58)
ψEi (xi) = EiψEi (xi) (10.59)
−i
ψE(x1, x2; t) = ψE1(x1)e
E1t
−i
h/ ψE2(x2)e
E2t
h/ (10.60)
Questo risultato coincide con quanto trovato precedentemente se valutato nella base
|x1, x2〉 = |x1〉 ⊗ |x2〉.
Osserviamo che una volta trovate le soluzioni fattorizzate gli autostati più generali
sono
|E〉 =
cE1,E2δE,E1+E2|E1〉 ⊗ |E2〉 (10.61)
o, nella base delle coordinate
E1,E2
ψE(x1, x2) =
Classe B: H non separabile:
E1,E2
cE1,E2δE,E1+E2ψE1(x1)ψE2(x2) (10.62)
V (x1, x2) = V1(x1) + V2(x2) (10.63)
In generale non si può fare molto, ma ci sono circostanze in cui la teoria può risultare
separabile se espressa in altre coordinate. Un esempio è il caso in cui il potenziale
dipenda dalla coordinata relativa x1 − x2:
V (x1, x2) = V (x1 − x2) (10.64)
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