Meccanica Quantistica

dove ρ è la densità di carica, porta all’equazione di continuità
∂ρ(x, t)
∂t = − ∇ ·j(x, t) (6.105)
con j la densità di corrente, anche nel caso in esame ci aspettiamo qualcosa di
analogo. Ricordiamo come dall’equazione di continuità segua la conservazione della
carica. Integrando l’equazione di continuità su un volume finito si ha
d
dt
V
ρ(x, t)d 3
x = −
V
∇ ·j(x, t)d 3
x = −
ΣV
j · d S (6.106)
dove ΣV è la superficie che contorna il volume V . Il contenuto di questa equazione è
che a ogni decremento nel volume V della carica corrisponde un flusso di corrente al
di fuori del volume. Per stabilire una analoga proprietà per l’equazione di Schrödinger
scriviamo questa equazione per la funzione d’onda e per la complessa coniugata.
Otterremo
ih/ ∂ψ
2
h/
= −
∂t 2m ∇ 2 ψ + V ψ (6.107)
−ih/ ∂ψ∗
2
h/
= −
∂t 2m ∇ 2 ψ ∗ + V ψ ∗
(6.108)
Moltiplicando la prima equazione per ψ∗ , la seconda per ψ e sottraendo una dall’altra
si trova
ih/ ∂
∂t (ψ∗ 2
h/
ψ) = (
2m
∇ 2 ψ ∗ )ψ − ψ ∗ ( ∇ 2
ψ)
(6.109)
o anche
∂ ih/
P(x, t) = −
∂t 2m
∇ · ( ∇ψ ∗ )ψ − ψ ∗ (
∇ψ) (6.110)
e definendo la densità di corrente di probabilità come
j(x, t) = ih/
(
2m
∇ψ ∗ )ψ − ψ ∗ (
∇ψ)
(6.111)
si trova
∂
∂t P(x, t) = − ∇ ·j(x, t) (6.112)
La conservazione della probabilità totale si ottiene integrando questa equazione su
tutto lo spazio
d
P(x, t)d
dt
3
x = − j(x, t) · d S (6.113)
Notiamo che per una ψ(x) normalizzabile si ha
ψ ∗ ψr 2 drdΩ < ∞ (6.114)
164
S∞