Meccanica Quantistica

15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
Siamo ora in grado di dimostrare un teorema di grande utilità nella pratica, il teorema
di Wigner-Eckart:
Gli elementi di matrice di un operatore sferico soddisfano la relazione:
q ||α, j〉
√
2j + 1
〈α ′ , j ′ , m ′ |T (k)
q |α, j, m〉 = 〈j, k; m, q|j, k; J = j ′ , M = m ′ 〉 〈α′ , j ′ ||T (k)
(15.148)
I due fattori a secondo membro sono rispettivamente il Clebsch-Gordan per sommare
i momenti angolari j e k per ottenere j ′ e un fattore puramente geometrico che
dipende solo dagli spin degli stati e dell’operatore. Il secondo fattore o elemento di
matrice ridotto dipende invece dalla dinamica e non dipende dai numeri quantici
m, m ′ e q. Questo teorema ci fornisce anche una ulteriore regola di selezione, infatti
ci dice che
〈α ′ , j ′ , m ′ |T (k)
q |α, j, m〉 = 0, solo se |j − k| ≤ j ′ ≤ j + k (15.149)
Per esempio se j e k sono rispettivamente 2 e 1, segue che non c’è elemento di
matrice con uno stato di spin 0. La dimostrazione del teorema è semplice. Usiamo
la regola di commutazione (15.145) che definisce l’operatore sferico e prendiamone
l’elemento di matrice
〈α ′ , j ′ , m ′ |[J±, T (k)
q ]|α, j, m〉 = k(k + 1) − q(q ± 1)〈α ′ , j ′ , m ′ |T (k)
q±1|α, j, m〉
(15.150)
dato che conosciamo come gli operatori J± operano sugli autostati del momento
angolare si ricava subito l’espressione
j ′ (j ′ + 1) − m ′ (m ′ ∓ 1)〈α ′ , j ′ , m ′ ∓ 1|T (k)
q |α, j, m〉 =
= j(j + 1) − m(m ± 1)〈α ′ , j ′ , m ′ |T (k)
q |α, j, m ± 1〉 +
+ k(k + 1) − q(q ± 1)〈α ′ , j ′ , m ′ |T (k)
q±1|α, j, m〉 (15.151)
Se confrontiamo questa equazione con la (15.130), che riportiamo qua sotto per
comodità (per il confronto occorre sostituire nella seguente equazione ∓ → ±):
J(J + 1) − M(M ± 1)〈j1, j2; m1, m2|j1, j2; J, M ± 1〉 =
= j1(j1 + 1) − m1(m1 ∓ 1)〈j1, j2; m1 ∓ 1, m2|j1, j2; J, M〉 +
+ j2(j2 + 1) − m2(m2 ∓ 1)〈j1, j2; m1, m2 ∓ 1|j1, j2; J, M〉 (15.152)
vediamo subito che queste equazioni soddisfatte dai Clebsch-Gordan e dagli elementi
di matrice di T (k)
q sono formalmente identiche con le sostituzioni
m ′ → M, j ′ → J, j → j1, m → m1 k → j2, q → m2
300
(15.153)