Meccanica Quantistica

appresentazione assegnata Lz è diagonale, la matrice di Lx è già nella base Lz.
Quindi gli autovalori sono dati dall’equazione caratteristica data da
−λ
√2 1 0
1√ 1
P(λ) = det
−λ
√2
2 = λ(1 − λ
1
0 √2 −λ
2 ) = 0 (5.68)
Dunque gli autovalori sono λ = ±1, 0. Gli autovettori si ottengono facilmente, per
esempio, il caso λ = +1 si ottiene risolvendo
⎛ ⎞
1 ⎛ ⎞ ⎛
−1 √ 0
2 x1 −x1 +
⎜ 1√ 1
0 = ⎝ −1 √2⎟
2 ⎠ ⎝x2⎠
⎜
= ⎝
1 0 √2 −1
1 ⎞
√ x2
2
1√ (x1 + x3) −
⎟
x2
2 ⎠ (5.69)
Risolvendo si ha
x3
Pertanto il vettore normalizzato è dato da
Analogamente si trova
1
√ 2 x2 − x3
x1 = 1 √ 2 x2, x3 = 1 √ 2 x2 (5.70)
|Lx = 1〉 ⇔ 1
√ 2
|Lx = 0〉 ⇔ 1
√ 2
⎛
⎝
|Lx = −1〉 ⇔ 1 √ ⎝
2
1√ 2
1 1√ 2
⎞
⎠ (5.71)
⎛ ⎞
−1
⎝ 0 ⎠ (5.72)
+1
⎛ ⎞
1√
2
−1
1√
2
⎠ (5.73)
4) - Se la particella ha Lz = −1 e si misura Lx, quali sono i possibili risultati della
misura e le rispettive probabilità? I possibili risultati sono gli autovalori di Lx e
quindi ±1, 0. Lo stato in cui si trova la particella, avendo Lz = −1 è chiaramente
⎛ ⎞
0
|ψ〉 ⇔ ⎝0⎠
(5.74)
1
Quindi
P(Lx = +1) = |〈Lx = 1|ψ〉| 2
=
131
1
2
1
√ 2
1
2
⎛ ⎞
0
⎝0⎠
1
2
= 1
4
(5.75)